Проще никак. Разве что поменять некоторые слова.
Матрица
называется неотрицательной, если
![$(A\vec z,\vec z)\equiv\sum\limits_{i,k=1}^na_{ik}z_k\overline z_i\geqslant0$ $(A\vec z,\vec z)\equiv\sum\limits_{i,k=1}^na_{ik}z_k\overline z_i\geqslant0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/c/0dcc2d40a2fb856f711b38cb0197b19782.png)
для любого вектора
![$\vec z=(z_1,z_2,\ldots,z)^{{}^T}$ $\vec z=(z_1,z_2,\ldots,z)^{{}^T}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/0/9800866ffd28b2243c588a99c3de4c9c82.png)
(имеется в виду транспонирование, т.е. столбец). Матрица
называется положительно определённой, если это неравенство всегда строгое (кроме, естественно, случая нулевого вектора). При этом очевидно: сумма любого количества неотрицательных матриц -- неотрицательна, и сумма положительной и неотрицательной матриц -- положительна.
У Вас элементы матрицы
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
-- это
![$a_{ik}=e^{t_it_k}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}t_i^jt_k^j,$ $a_{ik}=e^{t_it_k}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}t_i^jt_k^j,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/0/be0db18c1380c3e04730e13ba8c410b782.png)
и это вовсе не обязательно рассматривать как "матричный ряд", вполне достаточно того, что каждый элемент матрицы представлен в виде ряда Тейлора для экспоненты. Пусть
![$D^{(j)}$ $D^{(j)}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/e/83ee3b045e0a0ced40a32b4182e69baa82.png)
-- матрица с элементами
![$d^{(j)}_{ik}=t_i^jt_k^j$ $d^{(j)}_{ik}=t_i^jt_k^j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/f/1ef8866982b1484337594c9293e91ba182.png)
. Такая матрица неотрицательна по большому счёту потому, что пропорциональна ортопроектору, но самого слова "ортопроектор" знать вовсе не обязательно -- факт неотрицательности очень легко проверяется в лоб:
![$(D^{(j)}\vec z.\vec z)=\sum\limits_{i,k=1}^nd^{(j)}_{ik}z_k\overline z_i=\sum\limits_{i,k=1}^nt_i^jt_k^jz_k\overline z_i=\sum\limits_{k=1}^nt_k^jz_k\cdot\overline{\sum\limits_{i=1}^nt_i^jz_i}=\left|\sum\limits_{k=1}^nt_k^jz_k\right|^2\geqslant0$ $(D^{(j)}\vec z.\vec z)=\sum\limits_{i,k=1}^nd^{(j)}_{ik}z_k\overline z_i=\sum\limits_{i,k=1}^nt_i^jt_k^jz_k\overline z_i=\sum\limits_{k=1}^nt_k^jz_k\cdot\overline{\sum\limits_{i=1}^nt_i^jz_i}=\left|\sum\limits_{k=1}^nt_k^jz_k\right|^2\geqslant0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/f/08f438f497fb547d5bcfcb0c9692f20d82.png)
(т.е. неотрицательность имеет место для вообще любых матриц с элементами вида
![$\alpha_i\overline\alpha_k.$ $\alpha_i\overline\alpha_k.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/c/3fcab9dd45e9c4bc351347a0822a350982.png)
) Тогда и матрица
![$A^{(m)}=\sum\limits_{j=0}^m\frac1{j!}D^{(j)}$ $A^{(m)}=\sum\limits_{j=0}^m\frac1{j!}D^{(j)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/e/e3ed181f7313c60584b0fd6cc0d3c0d382.png)
неотрицательна, т.е.
![$(A^{(m)}\vec z,\vec z)\geqslant0$ $(A^{(m)}\vec z,\vec z)\geqslant0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/1/9f1907cde99104ad49525798e05b938782.png)
для любого
![$\vec z$ $\vec z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/8/698dc35f15ceacfe3a712cd6ef70844d82.png)
и для любого
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
. Но тогда и
![$(A\vec z,\vec z)=\lim\limits_{m\to\infty}(A^{(m)}\vec z,\vec z)\geqslant0$ $(A\vec z,\vec z)=\lim\limits_{m\to\infty}(A^{(m)}\vec z,\vec z)\geqslant0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/5/13569335327053853f99785e75cbfb4a82.png)
для любого
![$\vec z$ $\vec z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/8/698dc35f15ceacfe3a712cd6ef70844d82.png)
(предел существует просто потому, что он существует по каждому элементу матрицы). Вот и вся неотрицательность.