Являются ли функции характеристическими?

[Otta]

Угу, все верно.

[toreto]

Только вот я не пойму, почему $\dfrac{1}{1+x^4}$ теореме Пойа удовлетворяет.



Это уже не из Википедии определение. А из серьезной книжки.

[Otta]

Она не выпукла вниз, это как-то совсем очевидно и даже производную незачем смотреть. Четная, в нуле единица, гладкая, неотрицательная, горизонтальная асимптота $y=0$ - ну попробуйте представить себе такую выпуклую функцию. У нее где-то там перегиб. Конечно, два, симметрично отн-но нуля слева и справа.

-- 30.11.2015, 04:54 --

Upd Впрочем, посмотрела на Вашу производную - тоже очевидно. Но мне ее было бы лень искать, при таком-то раскладе.

-- 30.11.2015, 05:14 --

Upd-2 по поводу одной из задач выше. Х.ф. дифференцируемой в нуле быть не обязана.

[ewert]

toreto в сообщении #1078222 писал(а):

Это уже не из Википедии определение. А из серьезной книжки.

Это, скорее всего, глюк из "области определений". Скорее всего, подразумевалась строгая выпуклость, и на замкнутом промежутке. Остальное -- очипятки. Так всегда бывает, когда пытаются наводить марафет на пустом месте.

[Otta]

ewert в сообщении #1078224 писал(а):

Так всегда бывает, когда пытаются наводить марафет на пустом месте.

Э?
Выпуклость - неважно какая, строгая или нет. Остальное тоже верно. Вообще-то это нетривиальный результат.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1078223 писал(а):

Выпуклость - неважно какая, строгая или нет.

Важно, вообще-то. Поскольку собственно выпуклость тут и вовсе не при чём, интересна лишь вторая производная как таковая.

По поводу дифференцируемости в нуле -- да, я был немножко легкомыслен. Но почему-то кажется, что всё-таки прав. Я себя при случае обдумаю.

[Otta]

ewert
Вторая производная выпуклости зачем? Ей и первая не нужна. Речь о непрерывной функции, без дополнительных предположений.
Х.ф. дифференцируема в нуле, если у с.в. существует матожидание. Например, х.ф. распределения Коши в нуле производной не имеет. И как раз его х.ф. $\exp{(-|t|)}$ образцово удовлетворяет условиям теоремы Пойа. Но не она одна. Их таких можно насочинять кучу, в том числе, с компактным носителем, в том числе, не везде дифференцируемых, в том числе, нестрого выпуклых вниз, - но являющихся характеристическими.

[toreto]

Otta в сообщении #1078228 писал(а):

ewert
Вторая производная выпуклости зачем? Ей и первая не нужна. Речь о непрерывной функции, без дополнительных предположений.
Х.ф. дифференцируема в нуле, если у с.в. существует матожидание. Например, х.ф. распределения Коши в нуле производной не имеет. И как раз его х.ф. $\exp{(-|t|)}$ образцово удовлетворяет условиям теоремы Пойа. Но не она одна. Их таких можно насочинять кучу, в том числе, с компактным носителем, в том числе, не везде дифференцируемых, в том числе, нестрого выпуклых вниз, - но являющихся характеристическими.

Но при этом $\exp{(-|t|)}$ является ли характеристической функцией или нет, я что-то запутался. Отлично понимаю, что ни первой производной, ни второй в нуле не существует... Как так?

-- 30.11.2015, 11:55 --

Ааа, кажется понял. Для выпуклости не обязательно, чтобы функция была дифференциуруемой!

[toreto]

$e^{-x}$ выпукла вниз!

[Otta]

toreto в сообщении #1078246 писал(а):

Но при этом $\exp{(-|t|)}$ является ли характеристической функцией или нет, я что-то запутался.

А между тем, Вы должны отлично знать ответ на этот вопрос, потому что совсем недавно на него отвечали. Гораздо раньше.
Производной в нуле не существует, и что? И ничего.

[toreto]

Все, понял, обе функции выпуклы вверх. Потому теорема Пойа тут не причем) Извините!

Спасибо!

[--mS--]

Это какие тут обе функции выпуклы вверх?

[toreto]

$\dfrac{1}{1+x^4}$ и $\exp{(-|t|)}$

[Otta]

Приплыли.

[toreto]

ой, точно, перепутал как раз-таки все наоборот. Тогда опять не очевидно -- почему данные функции не удовлетворяют условиям теоремы Пойа.