Условие непрерывности функции

[qx87]

При каком условии функция $f(x)$, непрерывная на $[a, b]$ и на $[b, c]$, будет непрерывна и на $[a, c]$ ?

В самом учебнике, откуда эта задача, есть замечание



Тогда из условия 5.10 для отрезка $[b, c]$ и условия 5.9 для отрезка $[a, b]$ получаем для точки $b$:

$ \left.\begin{aligned} \forall \varepsilon > 0 \quad &\exists \delta_1=\delta_1(\varepsilon)>0: \; 0 \leqslant b - x < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - f(b)| < \varepsilon \\ \forall \varepsilon > 0 \quad &\exists \delta_2=\delta_2(\varepsilon)>0: \; 0 \leqslant x - b < \delta_2 \Rightarrow |f(x) - f(b)| < \varepsilon \end{aligned}\right\rbrace \Rightarrow $

$\Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \quad &\exists \delta(\varepsilon)=\min\left(\delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon)\right)>0: \; |x - b| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(b)| < \varepsilon \Rightarrow$

$\Rightarrow f(x) \in C[a, c].$

Вроде всё верно. Зачем ещё нужно какое-то условие?

[Someone]

qx87 в сообщении #1077281 писал(а):

Зачем ещё нужно какое-то условие?

Совершенно не нужно.

qx87 в сообщении #1077281 писал(а):

$\Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \quad &\exists \delta(\varepsilon)=\min\left(\delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon)\right)>0: \; |x - b| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(b)| < \varepsilon \Rightarrow$
$\Rightarrow f(x) \in C[a, c].$

Вот эта часть доказательства должна выглядеть иначе.

Обозначим $\delta(\varepsilon)=\min(\delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon))$. Тогда $\delta>0$, и…

Далее нужно объяснить, что если $|x - b| < \delta$, то также $|x - b| < \delta_1$ и $|x - b| < \delta_2$, поэтому как в случае $x\leqslant b$, так и в случае $x\geqslant b$, будет $|f(x) - f(b)| < \varepsilon$, вследствие чего функция в точке $b$ тоже непрерывна. И как-то надо упомянуть остальные точки отрезка $[a,c]$.

Впрочем, я в какой-то степени занудствую. Но не на 100%.

[qx87]

Ну это всё итак есть в моём объяснении. Другое дело, что не настолько подробно. Но это как раз потому, что я не объясняют деткам теорию, а наоборот, задаю вопрос более опытным согражданам. Таки подразумевается, что они итак всё понимают.

Меня просто смущает постановка вопроса задачи. Она подразумевает, что какое-то условие всё же есть. Хотя никакой такой разрывной функции я придумать не смог. На ум пришёл только модульв точке 0. Но он в ней теряет лишь свойство дифференцируемости, но не непрерывности.

[Brukvalub]

qx87 в сообщении #1077305 писал(а):

Меня просто смущает постановка вопроса задачи. Она подразумевает, что какое-то условие всё же есть.

Никакого условия нет. Ответ: всегда будет непрерывной.

[Someone]

qx87 в сообщении #1077305 писал(а):

Ну это всё итак есть в моём объяснении. Другое дело, что не настолько подробно. Но это как раз потому, что я не объясняют деткам теорию, а наоборот, задаю вопрос более опытным согражданам.

Так вот я и есть этот самый "более опытный согражданин", если, конечно, Вы гражданин Российской Федерации. И я Вам говорю, что некоторая часть вашего доказательства должна выглядеть иначе, нежели у Вас. Причём, дело не в подробностях.

[qx87]

Someone в сообщении #1077316 писал(а):

если, конечно, Вы гражданин Российской Федерации.

Так точно.

Someone в сообщении #1077316 писал(а):

И я Вам говорю, что некоторая часть вашего доказательства должна выглядеть иначе, нежели у Вас. Причём, дело не в подробностях.

Тогда не понял, в чём дело. Про точку b я сделал ключевое: взял минимум из двух дельт, про остальные точки слева и справа в условии явно сказано, что на них функция непрерывна, там вопрос не стоит. Я просто не проводил строгое доказательство, а изложил свои мысли. Если дело не в подробностях, проясните, пожалуйста.

[Someone]

qx87 в сообщении #1077333 писал(а):

Тогда не понял, в чём дело.

В безграмотной записи.

Там и ещё есть подобные огрехи. Например, начинаться доказательство должно со слов "Зададим любое $\varepsilon>0$". И далее никаких "$\forall\varepsilon>0$" быть не должно. Потому что переменная, на которой висит квантор, является связанной, и не может использоваться вне высказывания, в котором она находится. У Вас $\varepsilon$ должно быть во всех трёх строках одинаковым, а Вы его в каждой строке заново объявляете произвольным. Объявляться произвольным оно должно один раз, а потом использоваться как заданная величина.

[Brukvalub]

Из условия непрерывности на двух исходных отрезках следует, что в точке $b$ функция имеет одинаковые пределы слева и справа, равные $f(b)$ . Тогда она имеет в точке $b$ предел, равный $f(b)$, что означает ее непрерывность в точке $b$ . Зачем здесь "эпсилон-дельта" язык?

[gefest_md]

qx87, если в Вашем первом посте Вы рассуждали о том, что из чего следует, тогда там две ошибки. После $\exists\delta$ отсутствует $\forall x$ для точек $x$ из области определения функции. Второе, вместо $\exists \delta(\varepsilon)=\min\left(\delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon)\right)>0$ нужно только $\exists\delta(\varepsilon)>0$ (в тех строчках свободными должны быть только переменные $f$ и $b$, и, опять же, не $x$).

Пусть $f\colon X\to \mathbb{R}$ и $E_1, E_2\subseteq X$. Верно ли, что $f$ непрерывна на $E_1$ и $E_2$ тогда и только тогда, когда $f$ непрерывна на $E_1\cup E_2$?

[qx87]

Someone в сообщении #1077399 писал(а):

Объявляться произвольным оно должно один раз, а потом использоваться как заданная величина.

Почему? Ведь по условию функция непрерывна на двух отрезках. Для каждого из них я выписываю определение непрерывности. И на обоих отрезках выполняется "для любого эпсилон..."

Brukvalub в сообщении #1077406 писал(а):

Зачем здесь "эпсилон-дельта" язык?

Эта задача на тему "непрерывные отображения метрических пространств". Пределы в этой книге изучаются позднее. А зачем здесь английский язык? ;) По-русски говорят: язык "эпсилон-дельта".

gefest_md в сообщении #1077468 писал(а):

После $\exists\delta$ отсутствует $\forall x$ для точек $x$ из области определения функции.

Ну, я переписал строчку из книги, как есть.

gefest_md в сообщении #1077468 писал(а):

Второе, вместо $\exists \delta(\varepsilon)=\min\left(\delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon)\right)>0$ нужно только $\exists\delta(\varepsilon)>0$ (в тех строчках свободными должны быть только переменные $f$ и $b$, и, опять же, не $x$).

Не понимаю здесь Вас. Что такое свободные переменные?

gefest_md в сообщении #1077468 писал(а):

Пусть $f\colon X\to \mathbb{R}$ и $E_1, E_2\subseteq X$. Верно ли, что $f$ непрерывна на $E_1$ и $E_2$ тогда и только тогда, когда $f$ непрерывна на $E_1\cup E_2$?

Отображение непрерывно на некотором множестве тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке данного множества. Поэтому да.

[Brukvalub]

qx87 в сообщении #1077496 писал(а):

По-русски говорят: язык "эпсилон-дельта".

Ага, и еще говорят не

qx87 в сообщении #1077496 писал(а):

английский язык

,
а "язык английский"!

[Someone]

qx87 в сообщении #1077496 писал(а):

Почему? Ведь по условию функция непрерывна на двух отрезках. Для каждого из них я выписываю определение непрерывности. И на обоих отрезках выполняется "для любого эпсилон..."

А для какого именно $\varepsilon$ Вы ищете $\delta_1$ и $\delta_2$? И для какого именно $\varepsilon$ Вы проверяете выполнение условия в третьей строчке? "Для любого" — это не ответ, потому что для разных $\varepsilon$ числа $\delta_1$ и $\delta_2$ разные. Насчёт $\forall x$ gefest_md тоже прав, причём, утверждение $\forall x(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$ требует доказательства. Причём, после того, как Вы зададите $\varepsilon$, а через него определите $\delta$.

qx87 в сообщении #1077496 писал(а):

Ну, я переписал строчку из книги, как есть.

Никакой полезной информации из этой фразы извлечь нельзя, кроме как предположить, что Вы переписываете из книги, не задумываясь.

qx87 в сообщении #1077496 писал(а):

Не понимаю здесь Вас. Что такое свободные переменные?

Переменные в высказываниях бывают связанные и свободные. Связанные — это те, перед которыми стоит квантор ($\forall$ или $\exists$). Свободные — те, перед которыми никакого квантора нет. Если Вы изучаете программирование, то можно найти аналогии в программировании. Аналогом связанных переменных функции являются её внутренние переменные, которые невидимы снаружи. Аналогом свободных переменных являются аргументы функции, вместо которых мы можем подставлять какие-то значения.

[gefest_md]

qx87 в сообщении #1077496 писал(а):

gefest_md в сообщении #1077468 писал(а):

Второе, вместо $\exists \delta(\varepsilon)=\min\left(\delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon)\right)>0$ нужно только $\exists\delta(\varepsilon)>0$ (в тех строчках свободными должны быть только переменные $f$ и $b$, и, опять же, не $x$).

Не понимаю здесь Вас. Что такое свободные переменные?

Свободные переменные это те, про которых что-то определяется: "функция $f$ непрерывна в точке $b$". Но, как видите, в этой фразе нет $\varepsilon,\ \delta,\ x$ - в определении непрерывности они связываются (кванторами).

[ewert]

Someone в сообщении #1077285 писал(а):

Впрочем, я в какой-то степени занудствую. Но не на 100%.

На 100. Нелепо растягивать доказательство из трёх очевидных утверждений до десяти, в то время как легко можно было бы обойтись и сотней строк.

[qx87]

Someone

Вот Вы (при всём уважении) упорно перетягиваете одеяло на себя. Я ведь два раза сказал, что не провожу строгое доказательство, а просто поясняю, почему на мой взгляд не нужно доп. условие. Но снова и снова слышу про доказательство.

Someone в сообщении #1077399 писал(а):

Например, начинаться доказательство должно со слов "Зададим любое $\varepsilon>0$".

И более того, пытаетесь навязать мне свой способ проведения этого самого доказательства. А я рассуждаю по-другому: я не задаю переменные $\delta_1, \delta_2$ после задания конкретного $\varepsilon$. Я задаю функции $\delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon)$, определённые для $\forall \varepsilon > 0$. Далее беру минимум значений этих двух функций в каждой точке их области определения и получаю таким образом новую функцию $\delta(\varepsilon)$.

Насчёт связанных и свободных переменных я понял, спасибо за разъяснение. Но тогда выражения $\forall x(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$ и $(|x-b|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(b)|<\varepsilon)$ полностью эквивалентны. Нет никакого смысла писать квантор перед $x$, потому что она итак связывается посылкой импликации.

Да, можно было бы написать, что $\forall x \in D(f)$. Но я, опять же, исхожу из понимания очевидных вещей участниками форума. Аналогично я мог бы явно указать, что области определения моих функций совпадают: $D(\delta_1(\varepsilon)) = D(\delta_2(\varepsilon)) = \mathbb{R}_+$, и только на основании этого я могу брать минимум от них. Но я, опять же, исхожу из понимания очевидных вещей участниками форума.

ewert в сообщении #1077894 писал(а):

легко можно было бы обойтись и сотней строк.

Именно Спасибо за поддержку.