Рациональные треугольники с площадью S и периметром P

[scwec]

Докажите, что для любого прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон с площадью $S$ и периметром $P$ найдется другой треугольник с рациональными длинами сторон, у которого площадь равна $S$ и периметр равен $P$.

[scwec]

Снизим планку для этой задачи.
Найдите рациональный непрямоугольный треугольник с периметром $12$ и площадью $6$.
Если найдутся два таких треугольника - очень хорошо, если три - отлично.
(Соответствующий прямоугольный треугольник $(3,4,5)$).

[provincialka]

Я сначала не обратила внимание, что искомый треугольник не прямоугольный... Это ведет прямиком к формуле Герона, что не есть приятно... Впрочем, по условию нужно какое-нибудь решение, а не любое... Вечерком подумаю, задачка выглядит симпатично.

[Munin]

Непрямоугольный рациональный треугольник режется на два прямоугольных рациональных, поскольку площадь рациональна.

А, это же другая тема, здесь не оговорено, что площадь рациональна...

-- 02.11.2015 16:42:58 --

Предыдущая тема: «Сингулярные числа»

[provincialka]

Munin в сообщении #1069568 писал(а):

А, это же другая тема, здесь не оговорено, что площадь рациональна...

Да нет, она как раз рациональна как площадь прямоугольного треугольника с рациональными катетами.
А вот если для решения надо продвинутую теорию использовать -- то я пас.

[Munin]

provincialka в сообщении #1069571 писал(а):

Да нет, она как раз рациональна как площадь прямоугольного треугольника с рациональными катетами.

А, не заметил слова "прямоугольный" в исходном сообщении, и вместо этого подумал, что вы про оба треугольника говорите, что они непрямоугольные...

Тогда да.

Видно, что задачи какие-то близкородственные. Может, их стоит в одной теме обсуждать?

[scwec]

Munin в сообщении #1069597 писал(а):

Видно, что задачи какие-то близкородственные. Может, их стоит в одной теме обсуждать?

Не возражаю. Общее название темы может быть таким: Сингулярные числа и родственные задачи.
Важнее, чтобы появились решения.

[Evgenjy]

scwec в сообщении #1069524 писал(а):

Найдите рациональный непрямоугольный треугольник с периметром $12$ и площадью $6$.

Например, $\frac{41}{15}$; $\frac{101}{21}$; $\frac{156}{35}$.

[scwec]

Хорошо. А второй треугольник? Если работали по методе, то сможете и его написать, а там и третий.

[Evgenjy]

scwec в сообщении #1069968 писал(а):

А второй треугольник? Если работали по методе, то сможете и его написать, а там и третий.

Треугольники больше искать не буду, приведу пунктир решения.
Система уравнений: формула Герона и сумма сторон -- приводит к квадратному уравнению, дискриминант которого должен быть полным квадратом (рациональным). Это приводит к рациональной кубической кривой на плоскости. Такая кубическая кривая обладает тем свойством, что прямая, проходящая через ее две рациональные точки, пересекает ее еще в третьей рациональной точке (если вообще пересекает).

[scwec]

Конечно, здесь используются кубические кривые.
Вот как это может выглядеть.
Полная параметризация для получения любого треугольника с рациональными длинами сторон $a,b,c$ и рациональной площадью:
$a=L(x+1/x),b=L(y+1/y),c=L(x-1/x+y-1/y)$, где $L,x,y$ положительные рациональные и $x\cdot{y}>1$.
Отсюда $2L(x+y)=P$ и $L=\dfrac{P}{2x+2y}$, $S=\dfrac{{L^2}(x+y)(xy-1)}{xy}$ и $S=\dfrac{P^2(xy-1)}{4(x+y)xy}$
Окончательно получаем уравнение $\dfrac{(x+y)xy}{xy-1}=\dfrac{p^2}{4S}\qquad(1)$
В нашем случае $\dfrac{(x+y)xy}{xy-1}=6\qquad(2)$.
Это уравнение заменой $x=\dfrac{6}{3-u}$ и $y=\dfrac{6-3u+w}{3-u}\qquad(3)$ приводится у виду $w^2=u^3-9u+9\qquad(4)$.
Очевидная рациональная точка на $(4)$ это $P=(u,w)=(-3,3)$. Вычисляем $x,y,L$ и длины сторон треугольника $3,4,5$
Далее последовательно вычисляются координаты рациональных точек $2P,3P,4P,5P$ и т.д. Этот процесс формализован в рамках PARI/GP и не представляет труда. По $u,w$ вычисляются $x,y,L$ с помощью $(3)$ и затем $a,b,c$.
Не все рациональные точки $(u,w)$ на $(4)$ приводят к успеху. Ведь есть условие $x\cdot{y}>1$, которое выполняется для точек $P,3P,5P,7P...$, а для обозримых четных не выполняется.
Вот результаты:
$3P=(-8/9,109/27)$ и треугольник $\dfrac{41}{15},\dfrac{156}{35},\dfrac{101}{21}$ - указан Evgenjy,
$5P=(13209/20449,5436183/2924207)$ и треугольник $\dfrac{35380}{10153},\dfrac{27689}{8023},\dfrac{81831}{16159}$,
$7P=(310669305/265918249,1226474628261/4336328886443)$ и треугольник
$\dfrac{678541575}{151345267},\dfrac{221167193}{81180907},\dfrac{683550052}{142637329}$
и т.д.
Осталось решить начальную задачу.
Для этого нужно найти нетривиальное 1-параметрическое решение уравнения $(1)$ при $P=2t(t+1),S=t(t^2-1)$

[scwec]

В общем случае в рациональном прямоугольном треугольнике длины сторон (без общего множителя, что существа дела не меняет) $a=2t,b=t^2-1,c=t^2+1$, где $t>1$ рациональное число. Периметр $P=2t(t+1)$, площадь $S=t(t^2-1)$.
Уравнение $(1)$ записывается так: $\dfrac{xy(x+y)}{xy-1}=\dfrac{t(t+1)}{t-1}\qquad(1A)$. Оно имеет очевидное решение $x=t,y=1$.
Точно так же как и в случае с $P=12,S=6$ строится уравнение эллиптической кривой $(1B)$ (в общем случае устрашающего вида и здесь не приводится)
Точке $(x,y)=(t,1)$ на $(1A)$ соответствует точка $P=(u,w)=(1-(11/12)t^2+(1/6)t^3+(1/12)t^4,1-t^2)$ на $(1B)$.
Далее вычисляются точки $2P,3P,4P,5P...$ на $(1B)$.
Остановимся на $3P$. Координаты её не привожу из-за громоздкости, но приведу выражения для длин сторон треугольника
$a_1=\dfrac{t^{10}-6t^9+13t^8-16t^7+26t^6-20t^5-46t^4+48t^3+37t^2-6t+1}{(t^4-4t^3+4t^2+3)(t^4-2t^3-2t^2+6t+1)}$
$b_1=\dfrac{2t(t-1)(t+1)(t^2-4t+5)(t^4-2t^3+2t^2+2t+1)}{(t^4-4t^3+4t^2+4t-1)(t^4-2t^3-2t^2+6t+1)}$
$c_1=\dfrac{t^{10}-8t^9+21t^8-8t^7-46t^6+48t^5+26t^4-40t^3+29t^2+8t+1}{(t^4-4t^3+4t^2+4t-1)(t^4-4t^3+4t^2+3)}$
Периметр этого треугольника $P=2t(t+1)$, площадь $S=t(t^2-1)$ и поставленная задача решена
Это одна из возможных параметризаций. При $t=2$ она дает треугольник $41/15,156/35,101/21$ уже нам знакомый.
Следующие параметризации получаем в точках $5P,7P$ и т.д.

[Evgenjy]

Я в своем решении никак не использовал то, что исходный треугольник является прямоугольным, и не использовал никакой параметризации. У меня получается следующее.
Для любого треугольника с рациональными сторонами, за исключением равностороннего, существует неравный ему треугольник также с рациональными сторонами с тем же периметром и той же площадью.

[scwec]

Тогда для треугольника $(15/2,15/2,12)$ приведите другой треугольник с $S=P=27$

[rightways]

Здраствуйте, где nnosipov ?