Сингулярные числа

[scwec]

Натуральное число $N$ назовём сингулярным, если существует треугольник с рациональными длинами сторон, площадь и периметр которого равны $N$.
1.Найдите наименьшее сингулярное число.
2.Найдите наименьшее простое сингулярное число.
Необходимо выписать и длины сторон соответствующих треугольников.

[12d3]

Минимальное сингулярное число - это 21. Треугольник со сторонами 6.5, 7, 7.5.
Меньше быть не может, потому что у треугольника с фиксированным периметром $N$ площадь максимальна, если треугольник равносторонний. $N=S \le S_{ravn} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{N^2\sqrt{3}}{36}}\Rightarrow N \ge 12\sqrt{3} > 20$
Насчет пункта 2 - пока что нашелся только треугольник с сингулярным числом 31: $a=\frac{39}{6},\,b=\frac{62}{6},\,c=\frac{85}{6}$

[Dmitriy40]

(Ошибочное решение)

12d3 в сообщении #1063432 писал(а):

Минимальное сингулярное число - это 21. Треугольник со сторонами 6.5, 7, 7.5.

Простите, а почему не подходит число $1$ с треугольником $\frac{13}{42}, \frac{1}{3}, \frac{15}{42}$? Наименьшее и стороны рациональны. Получен делением сторон Вашего треугольника на 21.
А домножением на любое натуральное число можно получить любое натуральное значение площади и периметра.

[12d3]

Dmitriy40 в сообщении #1063444 писал(а):

Получен делением сторон Вашего треугольника на 21.

Периметр должен быть равен площади. Если все стороны домножите на $p$, то периметр увеличится в $p$ раз, а площадь - в $p^2$.

[Dmitriy40]

12d3
Точно, ступил я. Приношу извинения. Убрал в офтопик.

[scwec]

12d3, ответы Вы даете верные и появление $12\sqrt{3}$ необходимо, чтобы ограничить $N$ снизу.
Но здесь имеется более тонкая подоплёка. И если её иметь в виду, то хватило бы $N>11$, поэтому у меня два вопроса.
1. Как написать длины сторон других треугольников для $N=21$? (На самом деле таких треугольников бесконечно много)
2. Как убедиться в том, например, что 23 не сингулярное число?

[scwec]

Все треугольники с рациональными длинами сторон $a,b,c$ и рациональной площадью равной периметру задаются 2-параметрически:
$a=\dfrac{2y(x^2+1)}{xy-1},b=\dfrac{2x(y^2+1)}{xy-1},c=2x+2y$, где $x,y>1$ - рациональные числа. При этом площадь $S=\dfrac{4xy(x+y)}{xy-1}$.
(отсюда следует, например, что длины сторон в таких треугольниках больше 4).
Т.о. уравнение $\dfrac{4xy(x+y)}{xy-1}=N\qquad(1)$ определяет сингулярные числа $N$. Как выше было замечено $N>12\sqrt{3}$.
Последовательность сингулярных чисел выглядит так:$N=21,24,26,27,28,30,31,33,35,36,37,39,42,43,45,47,50...$
Она получается из рассмотрения надлежащим образом подобранной эллиптической кривой,
например, $w^2=u^3+27N^2(384-N^2)u+2N^2(27N^4+85984-15552N^2)\qquad(2)$.
Интересно, что при $N=27$ имеется только один соответствющий треугольник со сторонами $15/2,15/2,12$.
Для остальных $N$ из приведенной последовательности кол-во треугольников бесконечно. Это связано с количеством точек кручения на кривых $(2)$
и рангом этих кривых.
А именно: $6$ точек кручения при $N=27$(ранг кривой равен нулю) и $3$ точки кручения при $N\ne{27}$ и ранги кривых больше нуля.
Отрезок $21,24,26,27,28,30,31,33,35,36,37$ совпадает с отрезком последовательности A135412 из OEIS.

[12d3]

scwec в сообщении #1065013 писал(а):

Т.о. уравнение $\dfrac{4xy(x+y)}{xy-1}=N\qquad(1)$ определяет сингулярные числа $N$.

До похожего уравнения я добирался (оно совпадает с вашим с точностью до замены переменных), но решить элементарными методами это не вышло, а как применять эллиптические кривые, я не знаю. Поэтому вопрос - что можно почитать на тему эллиптических кривых и их использования для решения уравнений в целых или рациональных числах.

[scwec]

12d3, если совсем с нуля, то В.В.Острик, М.А.Цфасман "Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые".
Есть две подходящие книги на русском языке для дальнейшего изучения: Н.Коблиц "Введение в эллиптические кривые и модулярные формы",
Э.Кнэпп "Эллиптические кривые".
И море книг и статей на английском языке. Приведу одну из лучших для начинающих и не только для них:
J.H.Silverman, J.Tate "Rational Points on Elliptic Curves".
В сети всё это есть без проблем.

[maxal]

scwec в сообщении #1065013 писал(а):

Последовательность сингулярных чисел выглядит так:$N=21,24,26,27,28,30,31,33,35,36,37,39,42,43,45,47,50...$
Она получается из рассмотрения надлежащим образом подобранной эллиптической кривой,
например, $w^2=u^3+27N^2(384-N^2)u+2N^2(27N^4+85984-15552N^2)\qquad(2)$.

Просьба добавить эту последовательность в OEIS.

[scwec]

maxal в сообщении #1070226 писал(а):

Просьба добавить эту последовательность в OEIS.

Добавил на предварительный просмотр, только заменил уравнение эллиптической кривой на компактное и эквивалентное
$w^2=u^3+N^2(u+64)^2$

[maxal]

scwec в сообщении #1070474 писал(а):

Добавил на предварительный просмотр, только заменил уравнение эллиптической кривой на компактное и эквивалентное
$w^2=u^3+N^2(u+64)^2$

Спасибо. Последовательность A257642 теперь живет в OEIS.