Рациональные треугольники с площадью S и периметром P

[Deggial]

rightways, замечание за оффтоп. См. тут

[scwec]

Есть другие треугольники с такими же $S,P$ или нет, зависит от числа $\dfrac{P^2}{S}$, а если точнее
от равенства или неравенства нулю ранга кривой $\dfrac{4xy(x+y)}{xy-1}=\dfrac{P^2}{S}$.
Ранг равен нулю - нет другого треугольника - $(5,5,8),(5,5,6),(18,41,41)$ и т.д.
Ранг больше нуля - есть другие треугольники. Тут еще вмешивается группа кручения кривой (группа точек конечного порядка). В общем, дела с этим обстоят именно так. Простых ответов нет.