Мои планы изменились. Я ещё некоторое время поборолся с этой задачей, пытаясь воспользоваться советом
Null, но безуспешно. Я капитулировал и пошёл искать решение в сети.
И обнаружились очень интересные вещи. Во-первых, сама история задачи, которая была поставлена Робертсом в позапрошлом веке (1889) и решена им, но спустя без малого сотню лет в решении была обнаружена ошибка. Через несколько лет после обнаружения ошибки задачу вновь решил Shannon (1979) и это было первое правильное решение (в упомянутой ниже статье Белова почему-то источник первого доказательства указан
неверно другой, оставлю под сомнением -- выделен update, нужно уточнять). В 1992 г. совсем уж элементарное доказательство опубликовал А.Я. Белов. Вот в
этой статье. Я даже не нашёл, чтобы оно было опубликовано на английском (встретил на одном из форумов популярное изложение этого доказательства и ссылку в комментариях Math.OF на оригинальную статью).
Собственно,
Evgenjy попытался привести это доказательство, упростив его для плоского случая (и это высший пилотаж, если он сам нашёл нужную идею). Единственная ошибка, которая была допущена, а также единственное существенное отличие его доказательства от оригинального действительно находится в том переходе, на который я указал. А именно -- мы не вправе говорить о пересечении нескольких прямых в наперёд выбранной т.
. Но всё доказательство легко спасти, если плавно изменять параметр
от первоначального до первого момента "катастрофы" (выражаясь терминами Белова) в конфигурации -- то есть, до возникновения первой ситуации, когда через некоторую точку пересечения двух прямых пройдёт новая прямая (или несколько). При таком рассуждении доказательство становится совершенно правильным (с учётом совсем мелких поправок, согласованных в ходе нашего обсуждения). В частности, приведенный мной контрпример перестаёт быть контрпримером в исправленном случае.
Жаль, что мы не нашли нужное исправление в ходе обсуждения.
Ну и напоследок приведу
ссылку на современное направление дальнейшего развития этой задачи. Здесь ещё много неясного, публикуются статьи, появляются очень любопытные результаты. Работы ведутся в разных областях математики и на их стыке.
