2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 01:13 
Добрый день!
Взялся за самостоятельное изучение высшей алгебры, но вот уже второй день не могу понять ассоциативность умножения матриц.
Можете объяснить второй и третий переход? И как вообще действует этот знак суммы, где можно почитать о том как научиться его понимать?

Изображение

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 01:17 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

leolev в сообщении #1050800 писал(а):
И как вообще действует этот знак суммы, где можно почитать о том как научиться его понимать?
Хм... подобные вопросы напоминают мне анекдот про молодую жену. Которая жаловалась, что в кулинарной книге не сказано, как вскипятить воду...
Второй -- это переход от $d$ к $a$ и $b$? Тогда по определению.
Следующее равенство -- перестановка слагаемых (от которой сумма не меняется)

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 01:22 
provincialka в сообщении #1050802 писал(а):

(Оффтоп)

leolev в сообщении #1050800 писал(а):
И как вообще действует этот знак суммы, где можно почитать о том как научиться его понимать?
Хм... подобные вопросы напоминают мне анекдот про молодую жену. Которая жаловалась, что в кулинарной книге не сказано, как вскипятить воду...


Второй -- это переход от $d$ к $a$ и $b$? Тогда по определению.
Следующее равенство -- перестановка слагаемых (от которой сумма не меняется)

Простите, пожалуйста, за глупые вопросы, но я правда до этого вообще никак не контактировал с этими короткими записями, еще не привык.
Вот про то, что перестановка слагаемых... почему это перестановка слагаемых?

Если бы мы писали программу, то как бы происходило суммирование, сначала вся внутренняя сумма, а потом общий результат с внешней или как? Или вторая сумма это как вложенный цикл? Я перемножил три матрицы 3х3 и вроде бы ответ сошелся, но не могу прочитать "в общем виде"

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 01:33 
Аватара пользователя
Суммирование идет по двум индексам. И в каком порядке его делать -- неважно. Первая двойная сумма расписывается так:
$$\sum\limins_{k=1}^n(a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+...+a_{in}b_{nk})c_{kl}$$
Теперь раскройте скобки и вынесите элементы матрицы $A$ из каждой суммы

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 08:16 
если вспомнить, что матрица задает отображение, а произведение матриц -- композицию отображений, то доказательство ассоциативности несколько упростится :mrgreen:

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 11:44 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #1050835 писал(а):
доказательство ассоциативности несколько упростится

Хм, а из чего следует ассоциативность отображений? Надеюсь, не из "здравого смысла"? :wink:

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 11:59 
Отображения ассоциативны по определению их композиции. Тут гораздо хуже другое:

1) то, что линейное отображение задаётся матрицей -- это некоторая теорема, нуждающаяся в доказательстве;

2) и, в-главных, эта связь появляется существенно позже, чем матрицы вообще и ассоциативность в частности.

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 12:08 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich
6-го сентября об этом "вспомнить" ещё трудновато :-) Этого могли и не вводить ещё. (И потом: отображение чего? Пока не введены векторы-столбцы, проще всего - самих матриц, но тут уже мозги начинают плыть: отображение отображений...)

ewert
А линейность тут и не нужна. Достаточно, что каждый элемент образа есть многочлен от элементов прообраза... (Впрочем, тут надо уже запастись декартовым произведением множеств для определения функций многих переменных.)

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 12:17 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1050865 писал(а):
Отображения ассоциативны по определению их композиции.

Ну вот я и говорю: Рассудили "по здравому смыслу", что такая штука как "композиция отображений", должна быть ассоциативной, и заложили это в её определение. Как-то странно опираться на это определение при доказательстве ассоциативности произведения матриц.

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 12:21 
Ну, ведь, Вам уже объяснили, что речь в данном случае идет не о доказательстве ассоциативности произведения матриц, а о доказательстве того, что композиции линейных отображений отвечает произведение матриц. А Вы не поняли. :D

-- Вс сен 06, 2015 12:23:51 --

А так, мое замечание, скорее методическое, а не совет ТС. В приличных курсах сперва объясняются какие-то элементарные общие вещи. У нас алгебру читал Михалёв, он делал все по человечески.

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 12:43 
Oleg Zubelevich в сообщении #1050877 писал(а):
В приличных курсах сперва объясняются какие-то элементарные общие вещи.

Доказательство, цитированное в стартовом посте, оформлено плохо, но оно более-менее соответствует, например, Курошу, которого трудно назвать неприличным.

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 13:00 
Хорошо, давайте еще лет 50 будем ссылаться на приличный учебни к Куроша.

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 15:22 
provincialka Спасибо Вам, это же действительно можно представить просто как суммы с "многоточием" и тогда как-то понятнее.


Вообще я знаю что такое отображение, но неочевидно почему умножение матриц будет отображением.
Учу действительно по учебнику Куроша, думал что это учебник для мехмата МГУ и потому хороший, это не так? Пока еще в школе учусь, просто хочу присмотреться к разным областям математики (по мере сил) и понять, что больше нравится (чтобы выбрать университет с соответствующей специализацией).

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 15:26 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #1050877 писал(а):
А Вы не поняли. :D

Вы так думаете? Чего я действительно не понял -- как Вы собираетесь доказывать ассоциативность матричного произведения из ассоциативности композиций линейных отображений, не определив каким-либо образом связь одного с другим. Это вовсе не намёк на то, что Вы этого "не можете", просто это можно сделать по-разному, а потому непонятно, какой именно способ предпочитаете Вы. Например, можно определить "линейное отображение" алгебраически, тогда изоморфность его композиций матричным произведениям придётся доказывать. А можно просто сказать: Давайте определим "линейное отображение" как произведение квадратной матрицы на вектор-столбец. В последнем случае ассоциативность композиции уже не является аксиомой, а требует доказательства (впрочем, довольно тривиального).

 
 
 
 Re: ассоциативность умножения матриц
Сообщение06.09.2015, 15:40 
leolev в сообщении #1050938 писал(а):
Вообще я знаю что такое отображение, но неочевидно почему умножение матриц будет отображением.
Умножение $(A, B)\mapsto AB$, как бинарная операция, это отображение по определению. :-) Из упорядоченных пар матриц в матрицы. Но тут речь шла не об этом отображении. Но вы и сами увидите, о каком, когда дойдёте до линейных операторов.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group