ассоциативность умножения матриц

[leolev]

Добрый день!
Взялся за самостоятельное изучение высшей алгебры, но вот уже второй день не могу понять ассоциативность умножения матриц.
Можете объяснить второй и третий переход? И как вообще действует этот знак суммы, где можно почитать о том как научиться его понимать?

[provincialka]

(Оффтоп)

leolev в сообщении #1050800 писал(а):

И как вообще действует этот знак суммы, где можно почитать о том как научиться его понимать?

Хм... подобные вопросы напоминают мне анекдот про молодую жену. Которая жаловалась, что в кулинарной книге не сказано, как вскипятить воду...

Второй -- это переход от $d$ к $a$ и $b$? Тогда по определению.
Следующее равенство -- перестановка слагаемых (от которой сумма не меняется)

[leolev]

provincialka в сообщении #1050802 писал(а):

(Оффтоп)

leolev в сообщении #1050800 писал(а):

И как вообще действует этот знак суммы, где можно почитать о том как научиться его понимать?

Хм... подобные вопросы напоминают мне анекдот про молодую жену. Которая жаловалась, что в кулинарной книге не сказано, как вскипятить воду...

Второй -- это переход от $d$ к $a$ и $b$? Тогда по определению.
Следующее равенство -- перестановка слагаемых (от которой сумма не меняется)

Простите, пожалуйста, за глупые вопросы, но я правда до этого вообще никак не контактировал с этими короткими записями, еще не привык.
Вот про то, что перестановка слагаемых... почему это перестановка слагаемых?

Если бы мы писали программу, то как бы происходило суммирование, сначала вся внутренняя сумма, а потом общий результат с внешней или как? Или вторая сумма это как вложенный цикл? Я перемножил три матрицы 3х3 и вроде бы ответ сошелся, но не могу прочитать "в общем виде"

[provincialka]

Суммирование идет по двум индексам. И в каком порядке его делать -- неважно. Первая двойная сумма расписывается так:

$$\sum\limins_{k=1}^n(a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+...+a_{in}b_{nk})c_{kl}$$

Теперь раскройте скобки и вынесите элементы матрицы $A$ из каждой суммы

[Oleg Zubelevich]

если вспомнить, что матрица задает отображение, а произведение матриц -- композицию отображений, то доказательство ассоциативности несколько упростится

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1050835 писал(а):

доказательство ассоциативности несколько упростится

Хм, а из чего следует ассоциативность отображений? Надеюсь, не из "здравого смысла"?

[ewert]

Отображения ассоциативны по определению их композиции. Тут гораздо хуже другое:

1) то, что линейное отображение задаётся матрицей -- это некоторая теорема, нуждающаяся в доказательстве;

2) и, в-главных, эта связь появляется существенно позже, чем матрицы вообще и ассоциативность в частности.

[Munin]

Oleg Zubelevich
6-го сентября об этом "вспомнить" ещё трудновато :-) Этого могли и не вводить ещё. (И потом: отображение чего? Пока не введены векторы-столбцы, проще всего - самих матриц, но тут уже мозги начинают плыть: отображение отображений...)

ewert
А линейность тут и не нужна. Достаточно, что каждый элемент образа есть многочлен от элементов прообраза... (Впрочем, тут надо уже запастись декартовым произведением множеств для определения функций многих переменных.)

[epros]

ewert в сообщении #1050865 писал(а):

Отображения ассоциативны по определению их композиции.

Ну вот я и говорю: Рассудили "по здравому смыслу", что такая штука как "композиция отображений", должна быть ассоциативной, и заложили это в её определение. Как-то странно опираться на это определение при доказательстве ассоциативности произведения матриц.

[Oleg Zubelevich]

Ну, ведь, Вам уже объяснили, что речь в данном случае идет не о доказательстве ассоциативности произведения матриц, а о доказательстве того, что композиции линейных отображений отвечает произведение матриц. А Вы не поняли.

-- Вс сен 06, 2015 12:23:51 --

А так, мое замечание, скорее методическое, а не совет ТС. В приличных курсах сперва объясняются какие-то элементарные общие вещи. У нас алгебру читал Михалёв, он делал все по человечески.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #1050877 писал(а):

В приличных курсах сперва объясняются какие-то элементарные общие вещи.

Доказательство, цитированное в стартовом посте, оформлено плохо, но оно более-менее соответствует, например, Курошу, которого трудно назвать неприличным.

[Oleg Zubelevich]

Хорошо, давайте еще лет 50 будем ссылаться на приличный учебни к Куроша.

[leolev]

provincialka Спасибо Вам, это же действительно можно представить просто как суммы с "многоточием" и тогда как-то понятнее.


Вообще я знаю что такое отображение, но неочевидно почему умножение матриц будет отображением.
Учу действительно по учебнику Куроша, думал что это учебник для мехмата МГУ и потому хороший, это не так? Пока еще в школе учусь, просто хочу присмотреться к разным областям математики (по мере сил) и понять, что больше нравится (чтобы выбрать университет с соответствующей специализацией).

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1050877 писал(а):

А Вы не поняли.

Вы так думаете? Чего я действительно не понял -- как Вы собираетесь доказывать ассоциативность матричного произведения из ассоциативности композиций линейных отображений, не определив каким-либо образом связь одного с другим. Это вовсе не намёк на то, что Вы этого "не можете", просто это можно сделать по-разному, а потому непонятно, какой именно способ предпочитаете Вы. Например, можно определить "линейное отображение" алгебраически, тогда изоморфность его композиций матричным произведениям придётся доказывать. А можно просто сказать: Давайте определим "линейное отображение" как произведение квадратной матрицы на вектор-столбец. В последнем случае ассоциативность композиции уже не является аксиомой, а требует доказательства (впрочем, довольно тривиального).

[arseniiv]

leolev в сообщении #1050938 писал(а):

Вообще я знаю что такое отображение, но неочевидно почему умножение матриц будет отображением.

Умножение $(A, B)\mapsto AB$, как бинарная операция, это отображение по определению. Из упорядоченных пар матриц в матрицы. Но тут речь шла не об этом отображении. Но вы и сами увидите, о каком, когда дойдёте до линейных операторов.