Наименьшее произведение

[ireiren1]

Найдите наименьшее возможное значение произведения $xy$, если действительные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что
$x^2+y^2+z^2=400$ и $xz+xy+yz=300.$
Олимпиада в школе. Была в том году у 10-х классов. В этом году будет подобная у нас, вот хотелось бы разобраться.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

ireiren1
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Возвращено

[Shadow]

$\\(x+y+z)^2=1000\\ \\xy=300-z(x+y)$

$zu\le \dfrac{(z+u)^2}{4}$

[Ring0]

Сложим первое уравнение с удвоенным вторым, получим

${(x + y + z)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2(xy + xz + yz)$
${(x + y + z)^2} = 400 + 600 = 1000 \Leftrightarrow x + y + z = \pm 10\sqrt {10}$

Из второго уравнения получаем

$xy = 300 - z(x + y) = 300 - z(x + y + z) + {z^2} = {z^2} \mp 10\sqrt {10} \,z + 300$
$xy = {z^2} \mp 10\sqrt {10} \,z + 300 = {\left( {z \mp 5\sqrt {10} } \right)^2} + 50 \geqslant 50$

Ясно, что наименьшее значение $xy$ равно $50$

[Shadow]

Ring0 в сообщении #1052739 писал(а):

Ясно, что наименьшее значение $xy$ равно $50$

Также ясно, что $z,xy,x+y$ будут вещественными.

[grizzly]

Shadow в сообщении #1052751 писал(а):

Также ясно, что $z,xy,x+y$ будут вещественными.

Ну да, ещё из условия

ireiren1 в сообщении #1050361 писал(а):

... если действительные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что...

[ewert]

Ring0 в сообщении #1052739 писал(а):

Ясно, что наименьшее значение $xy$ равно $50$

Пока что неясно: надо ещё выяснять, будут ли совместными для подозреваемой точки минимума два других уравнения.