Размышления о ВТФ для Р = 3

[vasili]

Уважаемый Lasta! Я ведь размышляю от противного и потом пытаюсь найти противоречие, которое покажет несостоятельность

такого допущения. Что касается свойств сравнения суммы степеней и свойств суммы оснований, то в некоторых случаях

$A^n + B^n\equiv (A + B)\mod p$. Или я неправильно Вас понял?

[lasta]

vasili в сообщении #1019791 писал(а):

то в некоторых случаях
$A^n + B^n\equiv (A + B)\mod p$. Или я неправильно Вас понял?

Уважаемый vasili!Если следовать строго формулировке Ферма "невозможно разложить никакую степень на две степени с тем же показателем больше двух", то необходимо работать только с правой частью УФ. То есть пытаться разложить степень без способа от противного. Либо работать только с суммой степеней (левой частью УФ), доказывая, что она не имеет свойств степени. В последнем случае сравнение $A^n + B^n\equiv (A + B)\mod p$ справедливо, так как две степени могут иметь целые основания.

[vasili]

Уважаемый Lasta! Между Проблемой Ферма и методом ее разрешения есть все же отличие. Буквальные слова Ферма математики превратили в решение неопределенного уравнения в целых рациональных числах. Это не исключает и Вами предлагаемый метод доказательства.

[vxv]

vasili в сообщении #1019791 писал(а):

Я ведь размышляю от противного и потом пытаюсь найти противоречие, которое покажет несостоятельность
такого допущения.

"...среди профессиональных математиков имеется консенсус по поводу того, что последняя теорема Ферма - это глубоко нетривиальное утверждение, у которого нет и не может быть простого доказательства.
Поэтому нет никакого смысла тратить время на изучение таких доказательств и поиск ошибок, которые обязательно присутствуют в них".
http://www.spbgu.ru/forums/index.php?showtopic=53763

[vasili]

1.Известно, что

$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ……+ n^3 = [\frac{n(n + 1)}{2}] ^2\engo(1)$,

$1^2 +2^2 + 3^2 +………+n^2 = n\frac {(n+1) (2n +1)}{6}\engo(2)$,

$1 +2 +3 + 4 + ……………+ n = \frac {n (n+1)}{2}\engo(3)$.

[Е,С, ЛЯПИН и А,Е, ЕВСЕЕВ «АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ», ЧАСТЬ I, «Просвещение» 1974 г.],


2. Пусть натуральные числа $x,y, z$ являются примитивным

Решением уравнения $x^3 + y^3 - z^3 = 0\engo(4)$ и пусть

$z>x>y$.

3. Благодаря (1) будет справедливо следующее равенство

$$1^3 +2^3 +…+(y-1) ^3 + y^3 + (y +1) ^3 +…. + (x-1) ^3 + x^3 + (x +1)^3 +… ......+ z^3 + (z +1)^3 = [\frac{(z +1)(z +2)}{2}]^2\engo(5)$$

.

4. Очевидно равенство (5) благодаря (4) сохраниться, если из левой части

(5) мы вычтем $x^3 + y^3$, а из правой части (5) вычтем $z^3$

Запишем новое равенство, сгруппировав определенным образом слагаемые левой части, поместив их в квадратные скобки,

$$ [1^3 + 2^3 +…+(y-1)^3] + [(y + 1)^3 +(y +2)^3 +…+(y +k_1)^3] + + [(x + 1)^3 +(x +2)^3 +…+ (x + k_2)^3] = [\frac{(z +1)(z +2)}{2}]^2-z^3$$

,

где

$y +k_1 = x-1$, отсюда $k_1 = x – y – 1\engo(6)$,

$x + k_2 =z +1$, отсюда $k_2 = z –x + 1\engo(7)$.

5. Будем находить суммы сгруппированных слагаемых в квадратных скобках

5.1. $ [1^3 + 2^3 +…+(y-1) ^3] = [\frac {(y-1)y}{2}]^2$;

5.2.

$$ [(y + 1) ^3 +(y +2)^3 +…+(y +k_1)^3] = k_1 y^3 + +3y^2 (1 + 2 + 3 + ….+ k_1) + 3y (1^2 +2^2 +…+ k_1^2) + + (1^3 + 2^3 +… + k_1^3)$$

, отсюда

$$(y + 1) ^3 + (y +2)^3 +…+(y +k_1)^3 = k_1y^3 + 3y^2\frac{k_1(k_1 +1)}{2} + +3y k_1\frac {(k_1 +1) (2k_1 +1)}{6} + [\frac {k_1(k_1 +1)}{2}]^2$$

;

5.3.

$$ [(x + 1) ^3 +(x +2)^3 +…+(x + k_2)^3] = k_2x^3+ +3x^2 (1 + 2 + 3 + ….+k_2) + 3x (1^2 +2^2 +…+ k_2^2) + + (1^3 + 2^3 +… +k_2^3)$$

, отсюда

$$(x + 1) ^3 +(x +2)^3 +…+(x + k_2)^3 = k_2x^3 + 3x^2\frac{k_2(k_2 +1)}{2} + +3y k_2\frac {(k_2 +1) (2k_2 +1)}{6} + [\frac {k_2(k_2 +1)}{2}]^2$$

;

6. Запишем новое равенство с учетом сумм полученных в п.п. 5.1. 5.2. и 5.3.

$$[\frac {(y-1)y}{2}]^2 + k_1y^3 + 3y^2\frac{k_1(k_1 +1)}{2} + +3y k_1\frac {(k_1 +1)(2k_1 +1)}{6} + [\frac {k_1(k_1 +1)}{2}]^2 + + k_2x^3 + 3x^2\frac{k_2(k_2 +1)}{2} + +3y k_2\frac {(k_2 +1)(2k_2 +1)}{6} + [\frac {k_2(k_2 +1)}{2}]^2 =[\frac{(z +1)(z +2)}{2}]^2-z^3\engo(8$$

,




7.Умножим правую и левую части равенства (8) на 4 и запишем равенство с учетом (6) и (7)

$$[(y-1) y] ^2 + 4(x-y-1)y^3 + 6y^2(x-y-1)(x-y) ++2y (x-y-1)(x-y)(2x-2y-1) + + [(x-y-1)(x-y) ]^2 + + 4(z-x +1) x^3 + 6x^2(z-x +1)(z-x +2) + +2x (z-x +1)(z-x +2)(2z-2x + 3) + + [(z-x +1)(z-x +2)]^2 = = [(z +1) (z +2)]^2- 4z^3 \engo(9)$$

.

8.Раскроем только те скобки, которые содержат число z

$$[(y-1) y] ^2 + 4(x-y-1)y^3 + 6y^2(x-y-1)(x-y) + +2y (x-y-1) (x-y)(2x-2y-1 ) + [(x-y-1)(x-y) ]^2 + + [4zx^3- 4x^4 + 12zx^3 + 18 xz^2 -36zx^2 + 26zx+ +12 x^3 – 26x^2 +12 x ] + [z^4 + 4z^2x^2 +x^4 +9z^2 + 9x^2 + 4 – 4z^3x + +2z^2x^2 + 6z^3 -6z^2x+ 4z^2 -4zx^3 – 12z^2x + 12zx^2 -8zx +12z – 12x] = = z^4 + 13z^2 + 4 + 2z^3 +12 z\engo(9^1)$$

.

9.Сгруппируем подобные слагаемые, содержащие число z, перенося слагаемые правой части в левую часть равенства $(9^1)$

$$[(y-1) y] ^2 + 4(x-y-1)y^3 + 6y^2(x-y-1)(x-y) + +2y (x-y-1)(x-y)(2x-2y-1 ) + [(x-y-1)(x-y) ]^2 + +(z ^4 -z ^4) + (6z^3-2z^3) + (9z^2 + 4z^2 -13z^2) + (6z^2x^2 + 4z^2x^2 + +2z^2x^2) + (18z^2x -6z^2x -12z^2x) + (18zx^2 -36zx^2 + 12zx^2) +(26zx -8zx) + (12z -12z) + (4-4)-4z^3x -12x = 0\engo(9^{11})$$

В равенстве $(9^{11})$ слагаемые (в скобках) в левой части или равны нулю или больше нуля, КРОМЕ двух слагаемых, которые меньше нуля. а именно:

$-4z^3x$ и $ +(18zx^2 -36zx^2 + 12zx^2) = - 6zx^2$

Покажем, что для $(6z^2x^2 + 4z^2x^2 + 2z^2x^2) = 12z^2x^2$ имеем

12z^2x^2 + (- 4z^3x) + (– 6zx^2) > 0$

В самом деле, так как $z>x>y$, то для удовлетворения условия

$x^3 \approx0,5z^3$

минимальное значение числа $x_{\min} \approx0,8z$, тогда

$12z^2x^2 -4z^3x-6z x^2\approx 12z^2(0,8)^2z^2 -4z^3(0,8) z-6z(0,8)^2z^2\approx9z^4-3,2z^4- 4z^3\approx 5z^4-4z^3 > 0$,
что противоречит равенству $(9^{11})$.

-


Пришли к противоречию.

[ananova]

vasili в сообщении #1041978 писал(а):

В самом деле, так как $z>x>y$, то для удовлетворения условия

$x^3 \approx0,5z^3$

vasili, а как же Вы будете доказывать вариант, когда $z=x+1$?

[vasili]

Уважаемый ananova! В этом случае $x >0,8z$ и противоречие сохраниться.

[ananova]

Я попробовал в уравнение $(9^{11})$ вместо $z$ подставить $x+1$ - и, если не ошибся в наборе такой формулы, то получился такой результат:

$((y-1)y)^2+4(x-y-1)y^3+6y^2(x-y-1)(x-y)+2y(x-y-1)(x-y)(2x-2y-1)+((x-y-1)(x-y))^2+(6(x+1)^3-2(x+1)^3)+(9(x+1)^2+4(x+1)^2-13(x+1)^2)+(6(x+1)^2(x^2)+4(x+1)^2x^2+2(x+1)^2x^2)+(18(x+1)^2x-6(x+1)^2x-12(x+1)^2x)+(18(x+1)x^2-36(x+1)x^2+12(x+1)x^2)+(26(x+1)x-8(x+1)x)-4(x+1)^3x-12x=0$

и решил его с помощью программы - относительно $y$ получилось так:

$$y=\sqrt[3]{(\frac {9x^4} 4+2x^3+ \frac {25x^2} 4+\frac {7x} 2+1)}$$

Здесь $y>x$ т.е. Противоречит начальным условиям! Чтож - посмотрим что еще скажут на форуме.

[vasili]

Уважаемый ananova! Благодарю за анализ. Для случая когда $z = x + 1$ можно к примеру рассмотреть сумму кубов первых натуральных чисел $n = z + 5[math]$;, т.е. [math]$$S_3(z + 5) = 1^3 + 2^3 +....+(z + 5)^3 = [\frac{(z +5)(z +6)}{2}]^2$$

[ananova]

А в пункте 3 Вы ничего не пропустили?. Я вижу в левой части сумму рядов $x,y,z$, а в правой только $z$ фигурирует. Куда делись $x,y$?

[vasili]

Уважаемый ananova! Это вытекает из (1), если взять $n = z +1$. При этом в левой части среди слагаемых будут и числа $x^3, y^3, z^3$, но формула суммы выражается с помощью последнего числа, т.е. $z + 1$.

[ananova]

vasili в сообщении #1042173 писал(а):

Уважаемый ananova! Это вытекает из (1), если взять $n = z +1$. При этом в левой части среди слагаемых будут и числа $x^3, y^3, z^3$, но формула суммы выражается с помощью последнего числа, т.е. $z + 1$.

Все равно не понимаю. В следующем уравнении нет слева никаких $x,y$. Если их добавлять, то надо убирать $z$...

$$S_3(z + 1) = 1^3 + 2^3 +....+(z+1 )^3 = [\frac{(z+1)(z +2)}{2}]^2$$

[vasili]

Уважаемый ananova! Это не уравнение, а формула суммы кубов чисел от 1 до $z +1$ включительно. Так как $z + 1 >z >x>y$ и все числа фиксированные, то будет справедливо

$$1^3 + 2^3 +...+y^3 + .....+ x^3 +.......+ z^3 +(z +1)^3 =[\frac{(z +1)(z +2)}{2}]^2$$

[ananova]

Тогда пункт 3 Вам нужно переписать заново - у Вас там есть еще в ряду $+(y+1)^3+(x+1)^3+$. Их радо убрать.

[vasili]

Уважаемый ananova! Почему? Я сознательно вписал эти слагаемые. чтобы после вычитания из левой части $x^3$ и $y^3$ были наглядно обозначены нужные для дальнейших рассуждений интервалы.