|
Известно такое доказательство иррациональности числа √2 , которое сделали когда-то древние греки.
Предположим существует рациональное число, такое, что m/n=√2. Дробь m/n будем считать несократимой (ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимому виду). Возведя обе части равенства в квадрат, получим m^2=2n^2. Отсюда заключаем, что m - чётное число, т.е. m = 2k. Поэтому m^2 = 4k^2 и, следовательно, 4k^2 =2n^2, или 2k^2 = n^2. Но тогда получается, что и n также чётное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие. Остаётся сделать вывод: наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного √2, не существует.»
Но…. посмотрим на такое доказательство несколько критично. И если быть более математически аккуратным, то в таком доказательстве можно увидеть следующее:
1) В полученном равенстве m = 2k не совсем корректно описано число k , хотя известно, что k – это целое число. ЦЕЛОЕ! И это надо некоторым запомнить.
2) Из полученного выше равенства 2k^2 = n^2 вполне выходит и такое равносильное ему равенство k√2 = n, где видно, что числа k и n - это целые числа. А уже из последнего равенства всегда получают число √2 - рациональное. И в этом ничего предосудительного нет – ведь получили выше из равенства m/n=√2 другое адекватное ему равенство m^2=2n^2, и всё «путём»!
Таким образом, из нового выявленного обстоятельства выходит явно двоякое представление числа√2 : оно то ли рациональное, то ли иррациональное. Но древние греки (а это в 4 в. до н.э.) почему то выбрали из этого "инцидента" второй вариант: √2 – число иррациональное, забыв, умышленно или по незнанию, про первый вариант.
Помогите понять: так ли это? Или здесь мы видим слишком сгущённые «краски».
|
24.07.2015, 10:50 
ом