Метрика и особые линии.

[PSP]

Возник следующий вопрос в рамках римановых и псевдоримановых пространств.
Если задаётся метрика такого пространства,то из неё можно вывести уравнения особых линий - геодезических.
Как я понимаю,задание семейства геодезических так же может задать пространство,как и задание его метрики.Так ?
Или я ошибаюсь?
Отсюда следующий вопрос:
1.В плоских римановых и псевдоримановых пространствах можно задать понятия кривизин (типа кривизины плоской линии и кручения пространственной линии в евклидовых пространствах..). Можно ли понятие кривизин обобщить на неплоские пространства?
И если можно,то как ?
2.Может ли задание семейства линий с плоскими кривизинами (в случае евклидова пространства это прямые,окружности и обыкновенные винтовые линии..) считать равносильным заданию метрики этого пространства ?

[Munin]

PSP в сообщении #1031225 писал(а):

Если задаётся метрика такого пространства,то из неё можно вывести уравнения особых линий - геодезических.

Я думаю, во избежание путаницы с особенностями (сингулярностями), лучше избегать словосочетания "особые линии".

PSP в сообщении #1031225 писал(а):

Как я понимаю,задание семейства геодезических так же может задать пространство,как и задание его метрики.Так ?
Или я ошибаюсь?

Не так. Задание семейства геодезических (совместимого с какой-то римановой метрикой) несёт не больше информации, чем задание аффинной связности на гладком многообразии. При этом, метрика ещё не определена.

PSP в сообщении #1031225 писал(а):

1.В плоских римановых и псевдоримановых пространствах можно задать понятия кривизин (типа кривизины плоской линии и кручения пространственной линии в евклидовых пространствах..). Можно ли понятие кривизин обобщить на неплоские пространства?

Можно: внешняя кривизна подмногообразия.

PSP в сообщении #1031225 писал(а):

2.Может ли задание семейства линий с плоскими кривизинами (в случае евклидова пространства это прямые,окружности и обыкновенные винтовые линии..) считать равносильным заданию метрики этого пространства ?

Нет, по тем же причинам, что и в первом (непронумерованном) вопросе.

[PSP]

Munin в сообщении #1031251 писал(а):

PSP в сообщении #1031225 писал(а):

Если задаётся метрика такого пространства,то из неё можно вывести уравнения особых линий - геодезических.

Я думаю, во избежание путаницы с особенностями (сингулярностями), лучше избегать словосочетания "особые линии".

PSP в сообщении #1031225 писал(а):

Как я понимаю,задание семейства геодезических так же может задать пространство,как и задание его метрики.Так ?
Или я ошибаюсь?

Не так. Задание семейства геодезических (совместимого с какой-то римановой метрикой) несёт не больше информации, чем задание аффинной связности на гладком многообразии. При этом, метрика ещё не определена.

PSP в сообщении #1031225 писал(а):

1.В плоских римановых и псевдоримановых пространствах можно задать понятия кривизин (типа кривизины плоской линии и кручения пространственной линии в евклидовых пространствах..). Можно ли понятие кривизин обобщить на неплоские пространства?

Можно: внешняя кривизна подмногообразия.

PSP в сообщении #1031225 писал(а):

2.Может ли задание семейства линий с постоянными кривизинами (в случае евклидова пространства это прямые,окружности и обыкновенные винтовые линии..) считать равносильным заданию метрики этого пространства ?

Нет, по тем же причинам, что и в первом (непронумерованном) вопросе.

Отсюда возникают следующие вопросы :

1. Тогда "во избежание путаницы с особенностями (сингулярностями) " удобно ли ввести термин :"характерные /определяющие/ линии" ? Или как то выразить по другому ?
2.Можно ли утверждать, что "задание семейства геодезических (совместимого с какой-то римановой метрикой)" несёт столько же информации ,что и "задание семейства линий с постоянными кривизинами (в случае евклидова пространства это прямые,окружности и обыкновенные винтовые линии..) (совместимого с какой-то римановой метрикой)" ?
3.Может ли понятие "внешняя кривизна подмногообразия " в случае плоского пространства привести к понятию "линий с постоянными кривизинами " ?
4.Если на вопрос 3. ответ "да",то понятие "внешняя кривизна подмногообразия " в случае НЕплоского пространства может ли привести к аналогу понятий "линий с постоянными кривизинами " ?

[Munin]

PSP в сообщении #1031261 писал(а):

Отсюда возникают следующие вопросы :

1. Тогда "во избежание путаницы с особенностями (сингулярностями) " удобно ли ввести термин :"характерные /определяющие/ линии" ? Или как то выразить по другому ?

Не вижу смысла их как-то специально называть. Можно просто "геодезические". Обобщать их не с чем.

Обобщение происходит по другой логике: аффинная связность → связность на касательном расслоении → вообще связность на расслоении.

PSP в сообщении #1031261 писал(а):

2.Можно ли утверждать, что "задание семейства геодезических (совместимого с какой-то римановой метрикой)" несёт столько же информации ,что и "задание семейства линий с постоянными кривизинами (в случае евклидова пространства это прямые,окружности и обыкновенные винтовые линии..) (совместимого с какой-то римановой метрикой)" ?

Не знаю. Сложная задача. (Тут недавно над похожей задачей схлестнулось несколько математиков... результат я так до конца и не понял :-)

PSP в сообщении #1031261 писал(а):

3.Может ли понятие "внешняя кривизна подмногообразия " в случае плоского пространства привести к понятию "линий с постоянными кривизинами " ?

Может.

PSP в сообщении #1031261 писал(а):

4.Если на вопрос 3. ответ "да",то понятие "внешняя кривизна подмногообразия " в случае НЕплоского пространства может ли привести к аналогу понятий "линий с постоянными кривизинами " ?

Не для всякого неплоского пространства.

[PSP]

Munin в сообщении #1031267 писал(а):

PSP в сообщении #1031261 писал(а):

Отсюда возникают следующие вопросы :

1. Тогда "во избежание путаницы с особенностями (сингулярностями) " удобно ли ввести термин :"характерные /определяющие/ линии" ? Или как то выразить по другому ?

Не вижу смысла их как-то специально называть. Можно просто "геодезические". Обобщать их не с чем.

Обобщение происходит по другой логике: аффинная связность → связность на касательном расслоении → вообще связность на расслоении.

PSP в сообщении #1031261 писал(а):

2.Можно ли утверждать, что "задание семейства геодезических (совместимого с какой-то римановой метрикой)" несёт столько же информации ,что и "задание семейства линий с постоянными кривизинами (в случае евклидова пространства это прямые,окружности и обыкновенные винтовые линии..) (совместимого с какой-то римановой метрикой)" ?

Не знаю. Сложная задача. (Тут недавно над похожей задачей схлестнулось несколько математиков... результат я так до конца и не понял

PSP в сообщении #1031261 писал(а):

3.Может ли понятие "внешняя кривизна подмногообразия " в случае плоского пространства привести к понятию "линий с постоянными кривизинами " ?

Может.

PSP в сообщении #1031261 писал(а):

4.Если на вопрос 3. ответ "да",то понятие "внешняя кривизна подмногообразия " в случае НЕплоского пространства может ли привести к аналогу понятий "линий с постоянными кривизинами " ?

Не для всякого неплоского пространства.

1.Предложенный Вами алгоритм обобщения чисто математический.В этом смысле Вы правы.
Я же смотрю так ,грубовато : а) геодези́ческие ли́нии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на заданном многообразии кратчайшими путями между их концами. б) "характерные" (пробный ,условный термин) = это линии,все кривизины которой постоянны.(определение понятия "кривизина" в разных пространствах/плоских и неплоских/ может быть задано по разному,главное,чтоб определения были генетически связаны)

2.Насколько задача тех математиков похожа на мою ?

3.Очень хорошо,что может.

4. "Не для всякого неплоского пространства" - а каковы критерии тех неплоских пространств,которые могут привести к аналогу понятий "линий с постоянными кривизинами " ?

[Munin]

PSP в сообщении #1031274 писал(а):

4. "Не для всякого неплоского пространства" - а каковы критерии тех неплоских пространств,которые могут привести к аналогу понятий "линий с постоянными кривизинами " ?

Как минимум - все пространства постоянной кривизны.
Определить здесь максимум - тоже, думаю, сложная задача.

PSP в сообщении #1031274 писал(а):

2.Насколько задача тех математиков похожа на мою ?

Смотрите сами:
topic97602.html

[PSP]

Ладно,более конкретную постановку задач отложу до осени...
Похоже,придётся создавать группу математиков для решения задачи...
Если кого из математиков сие интересует,пишите в личку...

[Munin]

PSP в сообщении #1031305 писал(а):

Похоже,придётся создавать группу математиков для решения задачи...

Для решения задачи чтения учебника? О да, тут без группы математиков никак не обойтись.

[PSP]

Munin в сообщении #1031327 писал(а):

PSP в сообщении #1031305 писал(а):

Похоже,придётся создавать группу математиков для решения задачи...

Для решения задачи чтения учебника? О да, тут без группы математиков никак не обойтись.

А вы хотите получить конкретную постановку задачи ?
И заранее сказать,что для её решения нужно только прочитать учебник ?

[epros]

PSP в сообщении #1031225 писал(а):

семейства линий с плоскими кривизинами

А можно уточнить что это такое?

Линии нулевой кривизны -- это геодезические. Определение семейства всевозможных геодезических эквивалентно определению аффинной связности. Для определения метрики его недостаточно.

[PSP]

epros в сообщении #1031356 писал(а):

PSP в сообщении #1031225 писал(а):

семейства линий с плоскими кривизинами

А можно уточнить что это такое?

Линии нулевой кривизны -- это геодезические. Определение семейства всевозможных геодезических эквивалентно определению аффинной связности. Для определения метрики его недостаточно.

Прошу прощения, у меня там описка.Надо читать как :"семейства линий с постоянными кривизинами "
Получается,если кривизины = 0,то это уже геодезические ?

[epros]

PSP в сообщении #1031358 писал(а):

Получается,если кривизины = 0,то это уже геодезические ?

В общем, да. А Вот что такое линия постоянной ненулевой кривизны -- это мне непонятно.

[PSP]

epros в сообщении #1031364 писал(а):

PSP в сообщении #1031358 писал(а):

Получается,если кривизины = 0,то это уже геодезические ?

В общем, да. А Вот что такое линия постоянной ненулевой кривизны -- это мне непонятно.

Приведу конкретные примеры для евклидового пространства : окружность,обыкновенная винтовая линия.

В n-мерном евклидовом пространстве такая линия при чётном n замкнута, при нечётном - разомкнута.
В псевдоевклидовом (псевдоримановом ) пространстве ситуация посложнее.

[epros]

PSP в сообщении #1031366 писал(а):

Приведу конкретные примеры для евклидового пространства : окружность,обыкновенная винтовая линия.

Уже из Ваших двух примеров видно, что кривизна линии -- далеко не скаляр, то бишь одним числовым значением она не определяется. Стало быть, окружность единичной кривизны (читай: единичного радиуса) может в любой точке переходить в какую-нибудь цилиндрическую или в коническую спираль единичной кривизны (и обратно). Что это в общем случае получится за линия и зачем нам нужно строить семейство таких странных линий -- непонятно.

[PSP]

epros в сообщении #1031375 писал(а):

PSP в сообщении #1031366 писал(а):

Приведу конкретные примеры для евклидового пространства : окружность,обыкновенная винтовая линия.

Уже из Ваших двух примеров видно, что кривизна линии -- далеко не скаляр, то бишь одним числовым значением она не определяется. Стало быть, окружность единичной кривизны (читай: единичного радиуса) может в любой точке переходить в какую-нибудь цилиндрическую или в коническую спираль единичной кривизны (и обратно). Что это в общем случае получится за линия и зачем нам нужно строить семейство таких странных линий -- непонятно.

Естественно.Линии постоянных кривизин в n-мерном пространстве определяются (n-1) числами.В 3-мерном пространстве - это 1-я кривизина ,называемая просто "кривизина" и 2-я кривизина ,называемая "кручение". Если одна из кривизин =0, то мы просто получаем линию постоянных кривизин для пространства меньшей размерности.
Конкретно нужно выяснить,что за линии постоянных кривизин есть в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве.(они будут определяться 3-мя числами)
Ну и другие,связанные с этим вопросы.

А вот ответ на вопрос - зачем - это уже не математический ответ.
Но смею заверить, что польза от такой работы будет большая.