E

[grizzly]

Апис в сообщении #1022664 писал(а):

Верно ли следующее предположение.

Очевидно, нет. Просто приведите подобные в неравенстве:

Апис в сообщении #1022664 писал(а):

$\[p_n^2 < p_{n + 1}^2 - p_n^2\]$

после извлечения корня сравните с известными улучшениями постулата Бертрана (легко найдёте в англовики в соответствующей статье).

Если это всё сложно, тогда просто попытайтесь найти руками ещё хоть одно такое неравенство после простых 7 и 11. Энтузиазм сразу поубавится

[Апис]

$\[\begin{gathered} 2p_n^2 < p_{n + 1}^2 \hfill \\ \sqrt 2 {p_n} < {p_{n + 1}} \hfill \\ 1,4142{p_n} < {p_{n + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \]$

И где очевидность и причём постулат Бертрана? Когда сравниваем только размеры интервалов $\[\begin{gathered} \left( {0,p_n^2} \right) \hfill \\ \left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]$

Поясните ваши замечания, не понял в чём суть.

[grizzly]

Апис в сообщении #1022705 писал(а):

И где очевидность и причём постулат Бертрана?

Не постулат, а обобщение. Например такое, попроще (сейчас есть куда более продвинутые):

Англовики писал(а):

In 1952, Jitsuro Nagura proved that for $n \ge 25$, there is always a prime between $n$ and $(1 + 1/5)n$.

По-русски, в частности: для любого $p_n>25$ выполнено: $p_{n+1}<1.2p_{n}$.
А Вы предполагаете, что бесконечно много раз выполнено усиленное обратное: $p_{n+1}>1.4p_{n}$. Поэтому очевидно.

А прислушались бы к совету, наверняка догадались бы сами:

grizzly в сообщении #1022690 писал(а):

попытайтесь найти руками ещё хоть одно такое неравенство после простых 7 и 11.

[Апис]

Спасибо за урок grizzly. Занимался другим вопросом, а это выскочило невзначай и я стал подгонять наспех условия. Вот именно подгонять, за что и поплатился.

[Апис]

Два сравнимых по величине интервала, $\[\begin{gathered} \left( {t,p_n^2} \right) \hfill \\ \left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]$. $\[\begin{gathered} p_n^2 - t \approx p_{n + 1}^2 - p_n^2 \hfill \\ 2p_n^2 - p_{n + 1}^2 \approx t \hfill \\ \end{gathered} \]$
Кластерное распределение по интервалам можно наблюдать только при очень больших числах. Например, что бы увидеть галактику нужно посмотреть на неё с очень большого расстояния.
Как это доказать? Для двух интервалов с самым маленьким значением (t), это возможно, а вот доказать, что после спада может быть следующий кластер из простых чисел сложнее.
Да простят меня читатели, не в тему. С утра, где то часа четыре, в Донецке такая забава, что могу сказать, лучшее слабительное в мире, это залп реактивной артиллерии. Ствольная, рядом бьёт, дом подрагивает. В реальности не так весело, но жить можно и нужно, своих поддерживать Бог велел. На том стоим. Спешу, сейчас наверно сядет интернет.

[grizzly]

Апис
При всём желании я не смог понять, какой смысл Вы вкладываете в понятия "кластеризация", "кластерное распределение" и т.п. Что существуют какие-то скопления в одних больших интервалах, а другие -- сильно разрежены? И Вы предполагаете, что эти сами кластера тоже как-то распределены (возможно, подобным кластерным способом)? Поясните, если сможете, на словах.

Замечу пока, что сейчас математики большей частью склоняются к точке зрения, что в распределении простых чисел не следует ожидать сколько нибудь существенных нерегулярностей. Посмотрите, например, что об этом говорится в последнем абзаце этого раздела.

(об остальном)

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1022992 писал(а):

Замечу пока, что сейчас математики большей частью склоняются к точке зрения, что в распределении простых чисел не следует ожидать сколько нибудь существенных нерегулярностей.

Не согласен - посмотрите H. Maier. Primes in short intervals, Michigan Math. J. Volume 32, Issue 2 (1985), 221-225.

[grizzly]

vicvolf
Я не думаю, что распределение

vicvolf в сообщении #1023237 писал(а):

...in short intervals...

можно отнести к контексту нашего разговора или мнения того самого большинства :)
Но статью нашёл, смотрю. Спасибо!

-- 04.06.2015, 11:22 --

Как раз эта статья идеальным образом подходит под обоснование того самого последнего абзаца Вики, на который я сослался выше:

Англовики про распределение простых писал(а):

From a physical viewpoint, it roughly states that the irregularity in the distribution of primes only comes from random noise. From a mathematical viewpoint, it roughly states that the asymptotic distribution of primes (about x/log x of numbers less than x are primes, the prime number theorem) also holds for much shorter intervals of length about the square root of x (for intervals near x). This hypothesis is generally believed to be correct.

равно как и моего вывода (upd: впрочем, нет, я выразил это менее аккуратно). А что простые распределены не так равномерно, как чётные, никто ведь и не оспаривает

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1023240 писал(а):

А что простые распределены не так равномерно, как чётные, никто ведь и не оспаривает

Они иногда вылезают, как черти из бочки (простые близнецы), а иногда их не дождешься (большие расстояния между простыми).
Как я уже раньше писал в соответствующей теме - к распределению простых лучше подходят вероятностные оценки.

[Апис]

.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не определены понятия

Апис, согласно правилам форума, все понятия должны быть определены

правила форума писал(а):

3. Дискуссионные темы
...
3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны. ... Тема, формулировка которой признается нечеткой или неоднозначной, может быть отправлена в карантин до исправления. Незнание автором темы критериев, отличающих научно строгие формулировки от нестрогих, не является основанием для исключительного отношения к теме.

Апис в сообщении #1024677 писал(а):

Попробую доказать кластерное распределение простых чисел.

Сформулируйте все понятия и утверждения здесь чётко и корректно.
Заметьте, что это:

Апис в сообщении #1024677 писал(а):

Кластерам можно дать определение не только как, элементы множества со схожими характеристиками, или параметрами, собранные в одну группу.

не определение.

Апис в сообщении #1024677 писал(а):

наличие регулярных больших пробелов

Что такое "регулярный большой пробел"?

Также

правила форума писал(а):

1) Нарушением считается:
...
н) Существенные грамматические и пунктуационные искажения, а также явное злоупотребление средствами форматирования текста, обращающее на себя излишнее внимание и затрудняющее восприятие сообщений,

Упростите вот этот Ваш текст:

Апис в сообщении #1024677 писал(а):

$\[\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left[ {\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]\]$ (1)
Точное значение количества простых чисел (1) на интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ (2)
Разделив величину интервала(2) на точное значение (1), получим средний пробел между простыми числами.
$\[\frac{{p_{n + 1}^2 - p_n^2}}{{\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left[ {\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]}}\]$ (3)
Количество составных чисел на интервале (2)
$\[\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right) - \left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + \left[ {\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]\]$ (4)
Количество составных чисел (4). Разделим на количество простых чисел (1)
$\[\frac{{\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right) - \left\{ {\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left[ {\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]} \right\}}}{{\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left[ {\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]}}\]$
Получим $\[\frac{{\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)}}{{\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left[ {\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]}} - 1\]$ (5)

Удалите лишние скобки (хотя бы круглые) и укоротите формулы с помощью подстановок.
После упрощения напишу ещё некоторые замечания, сейчас разбираться в Вашей каше слов и формул не хочется совершенно.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.