Уравнение с параметром

[Atom001]

Здравствуйте!

Цитата:

Для каждого значения $a$ решите уравнение $\sqrt{\left\lvert x\right\rvert +1}-\sqrt{\left\lvert x\right\rvert}=a$

Я решаю так.
Возвожу обе части в квадрат: $\left\lvert x\right\rvert+1-2\sqrt{\left\lvert x\right\rvert(\left\lvert x\right\rvert+1)}+\left\lvert x\right\rvert=a^2$
Переношу корень вправо и опять возвожу в квадрат: $(2\left\lvert x\right\rvert+1-a^2)^2=4{\left\lvert x\right\rvert}^2+4\left\lvert x\right\rvert$
$4{\left\lvert x\right\rvert}^2+4\left\lvert x\right\rvert(1-a^2)+(1-a^2)^2=4{\left\lvert x\right\rvert}^2+4\left\lvert x\right\rvert$
$4\left\lvert x\right\rvert a^2=(1-a^2)^2$
Тогда, $\left\lvert x\right\rvert=(\frac{1-a^2}{2a})^2$.
Значит, $x=\pm (\frac{1-a^2}{2a})^2$, так как справа стоит квадрат, а он всегда неотрицательный.
Но видно, что это решение справедливо не для всех $a$. Подскажите, пожалуйста, как выудить ограничение на $a$?

[provincialka]

Раз вы возводите в квадрат, то можете получить лишние корни... Как этого избежать?

[Atom001]

provincialka в сообщении #1021425 писал(а):

Как этого избежать?

Я думаю, нужно проверять выражения, равные корню. Если корень неотрицательный, то и равное ему выражение тоже неотрицательно.

[ewert]

Atom001 в сообщении #1021422 писал(а):

Возвожу обе части в квадрат: $\left\lvert x\right\rvert+1-2\sqrt{\left\lvert x\right\rvert(\left\lvert x\right\rvert+1)}+\left\lvert x\right\rvert=a^2$

Вы пытались выбрать самый неудачный способ возведения в квадрат, но у Вас до конца это не получилось. Самым было бы предварительное перенесение $a$ в левую часть.

[provincialka]

А почему у вас тема называется "Неравенство с параметром"? У вас же это уравнение.

Кстати, можно применить и другое метод: исследовать, какие вообще значения может принимать левая часть...

[Atom001]

ewert в сообщении #1021428 писал(а):

Вы пытались выбрать самый неудачный способ возведения в квадрат, но у Вас до конца это не получилось. Самым было бы предварительное перенесение $a$ в левую часть.

Всё равно исход будет один: уравнение с модулем и всё. Или, может быть, я чего-то недопонимаю?

provincialka в сообщении #1021431 писал(а):

А почему у вас тема называется "Неравенство с параметром"? У вас же это уравнение.

Да, уравнение. Я просто решаю сейчас всё сподряд: и уравнения, и неравенства, поэтому начал путаться в терминах.

provincialka в сообщении #1021431 писал(а):

Кстати, можно применить и другое метод: исследовать, какие вообще значения может принимать левая часть...

Получается так. Минимальное значение под корнем во втором корне - $0$, при этом сам корень равен нулю. Тогда, минимум первого корня равен $1$. Значит левая часть принимает значения, большие или равные $1$.

[provincialka]

Atom001 в сообщении #1021434 писал(а):

Значит левая часть принимает значения, большие или равные $1$.

Нет. Подставьте какое-нибудь число. Например, $|x|=9$

[Atom001]

provincialka в сообщении #1021438 писал(а):

Нет. Подставьте какое-нибудь число. Например, $|x|=9$

Действительно, получается число, меньшее $1$.
Но ведь всё же правильно. ОДЗ 2-го корня $|x|\geqslant 0$, значит $\sqrt{|x|}\geqslant 0$. К тому же, получается, что $|x|+1\geqslant 1$. Тогда, $\sqrt{|x|+1}\geqslant 1$. Отсюда следует, что $\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}\geqslant 1$. Где я ошибаюсь?

-- 30.05.2015, 14:30 --

Видимо, с разностью корней нужно работать как-то по-другому?

[provincialka]

Вообще с разностью надо работать по-другому. Нельзя вычитать неравенства одного знака.

[Atom001]

Ну вот, я так и подумал. А как тогда оценить границы левой части?

[Shadow]

Atom001 в сообщении #1021440 писал(а):

Тогда, $\sqrt{|x|+1}\geqslant 1$. Отсюда следует, что $\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}\geqslant 1$. Где я ошибаюсь?

Во втором изречении. Вообще-то, у Вас система:

$\begin{cases}u^2-v^2=1\\u-v=a\end{cases}$

где $u>v\ge 0$

какое может быть $a$

[SomePupil]

Избавьтесь от радикалов другим способом. Вспомните формулу разности квадратов

-- 30.05.2015, 10:48 --

Это я к тому, чтобы найти ОДЗ.

[provincialka]

Собственно, для решения задачи не обязательно исследовать левую часть полностью. Думаю, ТС лучше действовать "в лоб". Ясно, что левая часть неотрицательна. Значит, подходят только $a\geqslant 0$. Перенесите один радикал направо: $\sqrt{|x|+1}=\sqrt{|x|}+a$. Обе части равенства неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат (то есть это будет равносильное преобразование)

[Atom001]

Shadow в сообщении #1021444 писал(а):

Вообще-то, у Вас система:

$\begin{cases}u^2-v^2=1\\u-v=a\end{cases}$

А что значит первое уравнение в системе? Как Вы его получили?

SomePupil в сообщении #1021445 писал(а):

Избавьтесь от радикалов другим способом. Вспомните формулу разности квадратов

Можно домножить на сопряжённое выражение обе части, но тогда вместо разности я получу сумму. Это Вы имели ввиду? Корни всё равно не уходят, получается.

[provincialka]

SomePupil в сообщении #1021445 писал(а):

Это я к тому, чтобы найти ОДЗ.

Нет, ОДЗ здесь ни при чем. Левая часть имеет смысл при всех $x$.

-- 30.05.2015, 09:57 --

Atom001
Не усложняйте. Избавьтесь от радикалов два раза, только аккуратно.

ewert в сообщении #1021428 писал(а):

Вы пытались выбрать самый неудачный способ возведения в квадрат, но у Вас до конца это не получилось.

Сделайте, как я вам предложила.