2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 10:03 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
provincialka в сообщении #1021446 писал(а):
поэтому его можно возвести в квадрат

$|x|+1=|x| + 2a\sqrt{|x|}+a^2$
Отсюда можно найти, что $a^2$ меньше или равна $1$, потому что сумма двух положительных выражений равна $1$.
То есть, $a\in[0;1]$?

-- 30.05.2015, 15:06 --

А, ну ещё $0$ выкинуть надо.

-- 30.05.2015, 15:06 --

Значит, $a\in(0;1]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 10:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Atom001 в сообщении #1021453 писал(а):
Значит, $a\in(0;1]$?

Так. Это можно было узнать исследовав левую часть:
$\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}=\dfrac{1}{\sqrt{|x|+1}+\sqrt{|x|}}$. Видно, что эта функция убывает от 1 (в нуле) асимптотически к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 10:21 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
provincialka, спасибо за помощь!

Задам здесь ещё один вопрос, он всё равно касается С5.
В этом видео почти в самом конце (с 4:15) говорят, что бесконечно много решений будет в $y=7$. Объясните, пожалуйста, почему? Там ведь прямая пересекает "уголки" только в 4-х местах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 10:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Не поняла... Какие 4 места? График имеет две наклонные части и одну горизонтальную. Как раз на уровне $y=7$. Все "иксы" из этого отрезка являются решениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 10:35 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Хорошо, скажите тогда, пожалуйста, когда вообще "икс" считается решением в данном случае. Очевидно, что я просто плохо это понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну, как обычно! Те "иксы", для которых равенство выполняется.
Решаем уравнение $|x+2|+|x-5|=7$. Все $x$ из промежутка $[-2;5]$ подходят.

Графически: график правой части -- прямая $y=7$, график левой содержит в себе отрезок этой прямой. На $[-2;5]$ эти графики совпадают. Равенство выполняется

-- 30.05.2015, 10:41 --

(Оффтоп)

извините, убегаю... дальше попробуйте сами подумать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 10:44 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
provincialka в сообщении #1021463 писал(а):
Графически: график правой части -- прямая $y=7$, график левой содержит в себе отрезок этой прямой. На $[-2;5]$ эти графики совпадают. Равенство выполняется

Спасибо! Теперь всё понятно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Atom001 в сообщении #1021453 писал(а):
Значит, $a\in(0;1]$?

Попробуйте нарисовать графики функций $\sqrt{\left\lvert x\right\rvert +1}$ и $\sqrt{\left\lvert x\right\rvert},$ это поможет вам понять суть полученного ответа (а в других случаях - "угадать" его заранее), и проверить его на "физический смысл".

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 12:16 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Надеюсь, что верно нарисовал графики.

Изображение

Только, вот, я не могу понять как именно могут помочь отдельные графики корней.
Я попробовал сложить красный и синий графики, получился зелёный. Вот он хорошо описывает то, что $a\in (0;1]$. Потому что $y=0$ - асимптота для зелёного графика, значит меньших и равных $0$ значений у этой функции нет. А в $y=1$ встречается последнее значение функции, выше функция просто не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Atom001 в сообщении #1021487 писал(а):
Я попробовал сложить красный и синий графики, получился зелёный.

Наверное, вычесть :-)

Atom001 в сообщении #1021487 писал(а):
Вот он хорошо описывает то, что $a\in (0;1]$.

Да, но это было видно и по красному с синим, сразу же. Потому что $a$ - это расстояние между ними по вертикали.

Ну впрочем, может быть, это требует некоторой тренировки. Если вам удобно вычитать - вычитайте. Главное, что это позволяет проверять себя, "подглядывать в ответ", чтобы быть больше уверенным в правильности решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 13:10 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Munin в сообщении #1021495 писал(а):
Наверное, вычесть :-)

Да, действительно :)

Munin в сообщении #1021495 писал(а):
Да, но это было видно и по красному с синим, сразу же. Потому что $a$ - это расстояние между ними по вертикали.

Ну впрочем, может быть, это требует некоторой тренировки. Если вам удобно вычитать - вычитайте. Главное, что это позволяет проверять себя, "подглядывать в ответ", чтобы быть больше уверенным в правильности решения.

Ясно. Спасибо, за подсказку! На ЕГЭ, я думаю, будет полезно себя проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не только на ЕГЭ. Если вы пойдёте в вуз - то там вообще в любых рядовых задачах полезно себя проверять, потому что иначе легко ошибиться где-то в начале выкладок, и запороть всё остальное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 13:44 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Munin, буду иметь ввиду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Munin в сообщении #1021495 писал(а):
Да, но это было видно и по красному с синим, сразу же. Потому что $a$ - это расстояние между ними по вертикали.
У вас, видимо, "глаз пристрелян" :D Я бы не была уверена, что график стремится асимптотически к нулю, не знай я формулы $\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}=\dfrac{1}{\sqrt{|x|+1}+\sqrt{|x|}}$
Особенно по картинке ТС: она слишком схематичная!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с параметром
Сообщение30.05.2015, 17:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, "пристрелян", но в другом смысле: я знаю поведение функции "квадратный корень", в том смысле, что $\sqrt{a+1}-\sqrt{a}$ стремится к нулю по мере роста $a.$ И кстати, знаю я это для любых степеней, меньших единицы: так уж ведут себя коренные параболы. Кроме того, насмотрелся на графики функций $f^2$ и $\sqrt{f}.$ Как видите, в целом я запоминаю графические образы, а ваша формула, напротив, алгебраическая, мне она менее очевидна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group