Можно считать, что

-- это скалярная функция двух аргументов (точки на многообразии и касательного вектора). Тогда

-- тоже скалярная функция тех же аргументов.
Именно. Поэтому

это то же самое, что

. И

. Тут важно то, что значения, которые принимает дифференциал скалярной функции, являются скалярами. Вот для дифференциалов отображения многообразий не могу представить, что может означать

потому, что вектора делить нельзя.

.
Хотя, может в какой-то физической задаче и такое может встретиться. И уже исходя из задачи, можно будет придать смысл такому выражению.