Вполне метризуемые пространства.

[morek]

Привет участникам форума!
Пытаясь изучить топологию и за одно подтянуть английский, читаю книгу Sidney. A. Morris "Topology without tears".
В этой книге довольно много упражнений, но к сожалению совсем нет ответов. Прошу подскажите по следующей задаче:

Пусть $\mathbf{a}$,$\mathbf{b}$ $\in$ $\mathbb{R}$, где $\mathbf{a}$ < $\mathbf{b}. Докажите, что любое дискретное пространство(?) и каждое из перечисленных пространств -
($\mathbf{a}$,$\mathbf{b}$),\dots (далее идёт перечисление всех возможных типов интервалов на действительной прямой), с их индуцированной топологией является польским пространством.

При этом, польское пространство определяется как "сепарабельное метрическое пространство, которое является вполне метризуемым (completely metrizable)"
Вполне метризуемым в книге называется топологическое пространство, для которого можно ввести такую метрику, что это пространство будет полным метрическим пространством.
Если я правильно понял, то самое важное здесь, это то, что полнота метрического пространства не сохраняется при гомеоморфизме, в то время как 'вполне метризуемость' сохраняется.

Доказать сепарабельность интервала могу, но прошу проверить схему доказательства 'вполне метризуемости'.

Вот какая, на мой взгляд может быть доказательство:
Пусть \lbrace$\mathbf{x_n}$\rbrace последовательность Коши в $\mathbb{R}$.
В силу полноты $\mathbb{R}$ с обычной метрикой, эта последовательность сходится к некоторому элементу $\mathbf{x}$ $\in$ $\mathbb{R}$.
Далее, известно, что $\mathbb{R}$ гомеоморфен любому ($\mathbf{a}$,$\mathbf{b}$), возьмём например (-1,1)
Построим гомеоморфизм \mathcal{f}\colon$\mathbb{R}$\to(-1,1);\quad$\mathcal{f}$(x)= \frac{x}{1 - \left\lvert x \rvert\right}
Определим новую метрику на (-1,1), как \mathcal{d_1}(a, b) = \lvert$\mathcal{f}$(a) - $\mathcal{f}$(b)\rvert
Несложно доказать, что последовательность \lbrace$\mathcal{d_1}(x_n, x)$\rbrace является последовательностью Коши и сходится к 0.
Отсюда следует, что \lbrace$\mathcal{f}$(x_n)\rbrace\to $\mathcal{f}$(x), при этом f(x)\in (-1,1), что и заключает доказательство.

[Brukvalub]

morek в сообщении #1002141 писал(а):

...
Построим гомеоморфизм \mathcal{f}\colon$\mathbb{R}$\to(-1,1);\quad$\mathcal{f}$(x)= \frac{x}{1 - \left\lvert x \rvert\right}
....

А такое отображение точно будет гомеоморфизмом?

[morek]

Brukvalub в сообщении #1002143 писал(а):

morek в сообщении #1002141 писал(а):

...
Построим гомеоморфизм \mathcal{f}\colon$\mathbb{R}$\to(-1,1);\quad$\mathcal{f}$(x)= \frac{x}{1 - \left\lvert x \rvert\right}
....

А такое отображение точно будет гомеоморфизмом?

Вы правы конечно. Да, это отображение будет гомеоморфизмом, но только $f \colon (-1,1) \to \mathbb{R}$

"Правильный" гомеоморфизм $\mathbb{R} \to (-1,1); f(x)= \frac{x}{1 + \left\lvert x \right\rvert}$

Update:
Спасибо AGu, за прояснение в ЛС. В принципе эту тему можно закрывать.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Обратите, пожалуйста, Ваше внимание на то, что на каждую формулу должно приходиться ровно два знака доллара - один в начале, другой в конце. Иначе отображение формул, особенно при цитировании, становится некорректным.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.