Дифференцируема везде, непрерывна нигде

[CUPER]

Здравствуйте, существует ли функция, которая бесконечно-дифференцируема везде, но при этом непрерывна нигде?

Спасибо большое!

[Legioner93]

Без непрерывности не может быть дифференцируемости.

[grizzly]

Для функции, у которой область определения пустое множество (так называемая пустая функция), справедливы многие бессмысленно истинные утверждения и приведенные Вами тоже.

[CUPER]

grizzly в сообщении #1042567 писал(а):

Для функции, у которой область определения пустое множество (так называемая пустая функция), справедливы многие бессмысленно истинные утверждения и приведенные Вами тоже.

А можете пожалуйста привести пример таковой функции?

Если это имеет значение, то функция $f:$ $\mathbb{R}^d $ $\to $ $\mathbb{R} $

[NSKuber]

CUPER в сообщении #1042569 писал(а):

А можете пожалуйста привести пример таковой функции?

Мне кажется, вы немного не поняли, что имелось в виду. Функция - множество упорядоченных пар (аргумент, значение), с некоторыми ограничениями на эти пары. Поэтому $\{\varnothing\}$ - тоже функция. Можно её и так записать: $f:\varnothing \to \mathbb{R}$. Пустое множество является подмножеством $\mathbb{R}^d$.
Она ничего не отображает, поэтому все утверждения вида "для любого $x$ из области определения $f$ выполнено свойство $A$" для неё верны.

[green_orange]

NSKuber в сообщении #1042578 писал(а):

Поэтому $\{\varnothing\}$ - тоже функция. Можно её и так записать: $f:\varnothing \to \mathbb{R}$.

Только не $\{\varnothing\}$, а просто $\varnothing$. Первое - даже не множество упорядоченных пар.

[NSKuber]

green_orange
Да, вы правы, спасибо.

[CUPER]

NSKuber в сообщении #1042578 писал(а):

CUPER в сообщении #1042569 писал(а):

А можете пожалуйста привести пример таковой функции?

Мне кажется, вы немного не поняли, что имелось в виду. Функция - множество упорядоченных пар (аргумент, значение), с некоторыми ограничениями на эти пары. Поэтому $\{\varnothing\}$ - тоже функция. Можно её и так записать: $f:\varnothing \to \mathbb{R}$. Пустое множество является подмножеством $\mathbb{R}^d$.
Она ничего не отображает, поэтому все утверждения вида "для любого $x$ из области определения $f$ выполнено свойство $A$" для неё верны.

Спасибо болшое за ваше объяснение. А как Вы мне посоветуете доказать то, что данная функция непрерываная нигде и дифференциируема везде?

[cool.phenon]

Я сначала думал, что здесь будет про функцию Вейерштрасса, а потом прочитал внимательнее

[grizzly]

CUPER в сообщении #1042696 писал(а):

А как Вы мне посоветуете доказать то, что данная функция непрерываная нигде и дифференциируема везде?

Докажем, для примера, что данная функция не является непрерывной ни в одной точке области определения. От противного: предположим, что существует точка, принадлежащая области определения, в которой функция непрерывна. Но это противоречит тому, что область определения функции -- пустое множество. Пришли к противоречию. Следовательно, такой точки не существует.

Аналогично можно доказать любое подобное утверждение:

grizzly в сообщении #1042567 писал(а):

Для функции, у которой область определения пустое множество (так называемая пустая функция), справедливы многие бессмысленно истинные утверждения

[Nemiroff]

Хм, а что означает дифференцируема "везде"? На всей области определения? Или на всей, к примеру, числовой прямой?

[ewert]

grizzly в сообщении #1042701 писал(а):

Докажем, для примера, что данная функция не является непрерывной ни в одной точке области определения.

Докажем, к примеру, что она воистину непрерывна. Д-во: пустое множество -- естественно, открыто; ч.т.д.

[grizzly]

Nemiroff в сообщении #1042730 писал(а):

Хм, а что означает дифференцируема "везде"? На всей области определения? Или на всей, к примеру, числовой прямой?

Мне не режет слух ни то, ни другое понимание. Но привычнее было встречать, что в контексте предполагается область определения (пусть даже это всё пространство).

ewert в сообщении #1042735 писал(а):

Докажем, к примеру, что она воистину непрерывна.

Поскольку простая, казалось бы, тема вызвала оживлённый интерес, оставлю здесь пару ссылок: про бессмысленные истины, про пустую функцию (на английской страничке чуть подробнее объясняется важность функции для математики), тонкости в подходах определения функции (на любителя).

[grizzly]

provincialka в сообщении #1042763 писал(а):

grizzly
Сложновато читать по английски да еще в таких обозначениях. Вы не могли бы вкратце передать, о чем говорится по последней ссылке?

Вопрос там о тонкостях определения функции. Мой уровень формализма не дотягивает, чтобы прокомментировать формулы из MathWorld и от Бурбаки и их обсуждения по существу. Но из комментариев я вынес примерно следующее. Понятия, которыми пользуются математики не всегда являются строго и однозначно определёнными. Во многих случаях понятия и их определения обретают строгий смысл в контексте теорий, в которых они используются (там приводятся простые примеры). Тоже справедливо относительно понятия "функция".

Я поясню, почему меня заинтересовал этот вопрос и почему я сослался на это. Ну хорошо, пусть там теория категорий и в ней в самых основах эта пустая функция и она очень важна. Но вот представьте себе задачник по топологии и в какой-то задаче даны 2 пространства с явно перечисленными открытыми множествами и просят найти все непрерывные функции из одного пространства в другое. Неужели кто-то ожидает увидеть в ответе среди прочих "пустую функцию"? Очень сомневаюсь. И вот в тех рассуждениях (абзацем выше) я нашёл для себя утешение.

[provincialka]

grizzly в сообщении #1042768 писал(а):

Неужели кто-то ожидает увидеть в ответе среди прочих "пустую функцию"?

А почему бы и нет? Раз функция -- это набор пар, то и "пустая функция" должна быть учтена! (конечно, если предлагается строить функции не обязательно заданные на всем пространстве).
Учитываем же мы пустое множество в множестве подмножеств $2^A$