Дифференцируема везде, непрерывна нигде

[g______d]

grizzly в сообщении #1042768 писал(а):

Но вот представьте себе задачник по топологии и в какой-то задаче даны 2 пространства с явно перечисленными открытыми множествами и просят найти все непрерывные функции из одного пространства в другое. Неужели кто-то ожидает увидеть в ответе среди прочих "пустую функцию"?

Когда говорят о "функциях из одного пространства в другое", обычно, всё-таки, подразумевают, что областью её определения является "одно пространство" целиком, если только это не оговорено отдельно. Поэтому в ответе пустая функция может оказаться только если первое пространство пустое.

-- Вт, 04 авг 2015 14:49:02 --

Diablo в сообщении #1042705 писал(а):

Думаю, что доказывать подобные свойства этой функции нельзя, потому как существование этих свойств тут же опровергается доказательством справедливости противоположных свойств.

Не опровергается. Напишите формальное определение и проотрицайте правильно все кванторы. И узнаете, что функция вполне может быть непрерывна в каждой точке области определения и при этом разрывна в каждой точке области определения.

И вообще, может быть так, что для любой точки $x\in \mathrm{dom}(f)$ выполняется $f(x)=2$, $f(x)\cdot f(x)=5$.

[grizzly]

g______d в сообщении #1042772 писал(а):

Когда говорят о "функциях из одного пространства в другое", обычно, всё-таки, подразумевают, что областью её определения является "одно пространство" целиком, если только это не оговорено отдельно.

Да, Вы правы, неудачный пример. Тем не менее, я не могу припомнить ни одного учебника / задачника по анализу, в котором упоминалась бы пустая функция. Впрочем, это могло быть из методических соображений (хотя чего только там не упоминалось :)
Или меня память подводит?

-- 05.08.2015, 00:55 --

Как бы там ни было, тонкости тех определений на Math.Overflow не касаются именно пустой функции -- там что-то тоньше.
(Это я решил специально уточнить, чтоб никого не сбивать дальше с толку.)

[Someone]

Собственно, в понятии многозначной функции особой нужды нет.

Это понятие мне встречалось в двух ситуациях.

В теории множеств многозначная функция (отображение) $f\colon X\to Y$ трактуется как обычное однозначное отображение $F\colon X\to 2^Y$ в множество подмножеств множества $Y$ (это множество иногда называется графиком функции). В частности, мне встречались дифференциальные включения $y'\in f(x,y)$ (для однозначной функции получаются, естественно, дифференциальные уравнения).

В ТФКП многозначная функция представляется как однозначная функция на римановой поверхности. Риманову поверхность также можно определить как график.

В теории множеств функция (отображение) обычно формализуется как множество упорядоченных пар $(x,y)$, где $x$ — элемент области определения функции, а $y$ — значение функции в точке $x$, с тем условием, что если $(x,y_1)$ и $(x,y_2)$ — две такие пары (с одним и тем же первым элементом), то $y_1=y_2$. Многозначные функции возникают при отказе от последнего условия.

Такая формализация может быть неудобной, поэтому иногда функцию рассматривают как упорядоченную пару $(Y,f)$ или тройку $(X,Y,f)$, где $X$ и $Y$ — множества, а $f$ — то самое множество упорядоченных пар, с дополнительными условиями, учитывающими $X$ и $Y$.

grizzly в сообщении #1042775 писал(а):

я не могу припомнить ни одного учебника / задачника по анализу, в котором упоминалась бы пустая функция.

А зачем эту тривиальность специально упоминать? Впрочем, может попасться функция с пустой областью определения.

[OdiEtProieci]

Someone в сообщении #1043076 писал(а):

Собственно, в понятии многозначной функции особой нужды нет.

Это понятие мне встречалось в двух ситуациях.

Да как бы есть нужда, просто надо знать где. Например, в теории управлении, в теории дифференциальных игр, удобны дифференциальные включения особенно в доказательстве общих теорем.
В теории игр вообще часто возникают многозначные отображения из-за неоднозначности решений, и тем самым знание свойств этих отображений порой помогает. Хотя их обычно и стараются изьегат ьв последние десятилетия эта область развивается.

[Legioner93]

Многозначные функции могут появляться, когда мы решаем нелинейные диффуры. Например уравнение Хопфа.