Теория меры

[kp9r4d]

For each $h > 0$, let $E_h$ be a subset of $B(0, h)$ with the property that $m(E_h) \geqslant cm(B(0, h))$ for some $c > 0$ independent
of $h$. Show that if $f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$ is locally integrable, and $x$ is a Lebesgue point of $f$, then $\lim_{h \to 0} \frac{1}{m(E_h)} \int_{x+E_h} f(y) dy = f(x)$
Точка называется Лебеговой, если выполнено в ней $\lim_{r \to 0} \frac{1}{m(B(x,r))}\int_{B(x,r)} f(y) dy = f(x)$.
Мне очевидно только доказательство того, что $0 \leqslant \lim_{h \to 0} \frac{1}{m(E_h)} \int_{x+E_h} f(y) dy \leqslant f(x)/ c$ если среднией предел существует.

[iancaple]

Так это неверно, $d=1$,$f(x)=sign(x)$, точка $x=0$ для нее Лебегова.
Если $\left[\dfrac 1h\right]$ четно, $E_h=(0,h)$, иначе $E_h=(-h,0)$. Для них $c=\dfrac 12$
Тогда предел не существует, колеблется :то -1, то 1

[grizzly]

iancaple в сообщении #1039073 писал(а):

Так это неверно, $d=1$,$f(x)=sign(x)$, точка $x=0$ для нее Лебегова.

Я бы ожидал в определении Лебеговой точки видеть какую-то независимость от нечётности. Что-то вроде:

$$ \lim_{r \to 0} \frac{1}{m(B(x,r))}\int_{B(x,r)} |f(y)-f(x)| dy = 0. $$

Думаю, kp9r4d кого-то из нас с ним поправит.

-- 21.07.2015, 12:25 --

Хм.. Глянул бегло в сети. Говорят, что я привёл какое-то "stronger" определение, а бывает ещё и "weaker" -- как у ТС, наверное. Думаю, для этой задачи нужно посильнее.

[kp9r4d]

iancaple
grizzly
Да, вы правы, нужно то, которое stronger.

[iancaple]

Ну если stronger, тогда это почти тавтология.
Выводим
$\dfrac 1{m(E_h)}\int_{B(x,h)}|f(y)-f(x)|dy\to 0$, и т.д

[kp9r4d]

iancaple в сообщении #1039136 писал(а):

Выводим
$\dfrac 1{m(E_h)}\int_{B(x,h)}|f(y)-f(x)|dy\to 0$, и т.д

iancaple
Спасибо, проблема была как раз в том, что не то определение использовал.