2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Теория меры
Сообщение21.07.2015, 00:10 
Аватара пользователя
For each $h > 0$, let $E_h$ be a subset of $B(0, h)$ with the property that $m(E_h) \geqslant cm(B(0, h))$ for some $c > 0$ independent
of $h$. Show that if $f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$ is locally integrable, and $x$ is a Lebesgue point of $f$, then $\lim_{h \to 0} \frac{1}{m(E_h)} \int_{x+E_h} f(y) dy = f(x)$
Точка называется Лебеговой, если выполнено в ней $\lim_{r \to 0} \frac{1}{m(B(x,r))}\int_{B(x,r)} f(y) dy = f(x)$.
Мне очевидно только доказательство того, что $0 \leqslant \lim_{h \to 0} \frac{1}{m(E_h)} \int_{x+E_h} f(y) dy \leqslant f(x)/ c$ если среднией предел существует.

 
 
 
 Re: Теория меры
Сообщение21.07.2015, 11:10 
Аватара пользователя
Так это неверно, $d=1$,$f(x)=sign(x)$, точка $x=0$ для нее Лебегова.
Если $\left[\dfrac 1h\right]$ четно, $E_h=(0,h)$, иначе $E_h=(-h,0)$. Для них $c=\dfrac 12$
Тогда предел не существует, колеблется :то -1, то 1

 
 
 
 Re: Теория меры
Сообщение21.07.2015, 11:42 
Аватара пользователя
iancaple в сообщении #1039073 писал(а):
Так это неверно, $d=1$,$f(x)=sign(x)$, точка $x=0$ для нее Лебегова.

Я бы ожидал в определении Лебеговой точки видеть какую-то независимость от нечётности. Что-то вроде:
$$
\lim_{r \to 0} \frac{1}{m(B(x,r))}\int_{B(x,r)} |f(y)-f(x)| dy = 0.
$$
Думаю, kp9r4d кого-то из нас с ним поправит.

-- 21.07.2015, 12:25 --

Хм.. Глянул бегло в сети. Говорят, что я привёл какое-то "stronger" определение, а бывает ещё и "weaker" -- как у ТС, наверное. Думаю, для этой задачи нужно посильнее.

 
 
 
 Re: Теория меры
Сообщение21.07.2015, 14:10 
Аватара пользователя
iancaple
grizzly
Да, вы правы, нужно то, которое stronger.

 
 
 
 Re: Теория меры
Сообщение21.07.2015, 14:36 
Аватара пользователя
Ну если stronger, тогда это почти тавтология.
Выводим
$\dfrac 1{m(E_h)}\int_{B(x,h)}|f(y)-f(x)|dy\to 0$, и т.д

 
 
 
 Re: Теория меры
Сообщение22.07.2015, 00:34 
Аватара пользователя
iancaple в сообщении #1039136 писал(а):
Выводим
$\dfrac 1{m(E_h)}\int_{B(x,h)}|f(y)-f(x)|dy\to 0$, и т.д

iancaple
Спасибо, проблема была как раз в том, что не то определение использовал.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group