2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 00:14 


14/01/14
85
В книге дано утверждение, что если группа Ли абелева, то её алгебра Ли тоже абелева, но без доказательства, видимо, должно быть простое. Но до меня как-то недоходит как доказать.
Пусть $G$ абелева группа Ли, $u, v \in T_e G$, $g,h \in G$. Тогда:
$dL_g dL_h [v,u](f)=dL_h [v,u](f \circ L_g)=v(u(f \circ L_g) \circ L_h) - u(v(f \circ L_g) \circ L_h)= v(u(f \circ L_h) \circ L_g) - u(v(f \circ L_h) \circ L_g)$. Где я использовал, что элементы g,h коммутируют. Что дальше?
Ещё идея доказать, что скобка Ли двух любых векторов в $T_e G$ равна нулю, но в этом случае вроде как нигде не используется, что группа коммутативная. Как здесь быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 09:04 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
Алгебра Ли абелевой группы Ли не просто абелевая, а нулевая. Разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 09:57 


14/01/14
85
Почему же, не нулевая. Если бы была нулевая, это означало бы, что каждый касательный вектор в нейтральном элементе группы должен был бы быть равен нулю. Не вижу причин ему быть нулевым. Дальше там же пример абелевой группы по сложению $\mathbb{R}^n$, и её алгебра Ли $\mathbb{R}^n$ c нулевой скобкой Ли

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1470
МО
Глядя по тому, как, собс-но, определяется умножение в алгебре.
Обычно - через предельное выражение, в котором фигурирует отклонение $aba^{-1}b^{-1}$ от единицы.
В случае коммутативной группы это, очевидно, 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 11:24 


10/02/11
6786
Oleg Zubelevich в сообщении #757366 писал(а):
1) Группа Ли $G$ это гладкое многообразие, точки которого можно перемножать и операция умножения удовлетворяет аксиомам группы. Кроме того операция умножения является гладким отображением $G\times G\to G$ . Например группой Ли является $GL(n)$.
2) Рассмотрим $T_eG$ -- касательное пространство к группе $G$ в единице. Пусть $v\in T_eG$ -- какой -нибудь вектор. Через $F_a:G\to G$ обозначим следующую операцию $F_a(f)=af.$ Она называется левым сдвигом.
Вектору $v$ можно поставить в соответствие векторное поле на $G$, делается это следующим образом: $v(x)=dF_x(e)\circ v$.
3) Пусть теперь $u,v\in T_eG$. Этим векторам поставим в соответствие векторные поля $u(x),v(x)$ указанным выше способом, и по определению положим $[u,v]:=[u(x),v(x)](e)$. Можно показать, что будучи снабженным такой операцией пространство $T_eG$ превращается в алгебру Ли. Это алгебра Ли группы $G$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 11:35 


14/01/14
85
Oleg Zubelevich в сообщении #1036084 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #757366 писал(а):
1) Группа Ли $G$ это гладкое многообразие, точки которого можно перемножать и операция умножения удовлетворяет аксиомам группы. Кроме того операция умножения является гладким отображением $G\times G\to G$ . Например группой Ли является $GL(n)$.
2) Рассмотрим $T_eG$ -- касательное пространство к группе $G$ в единице. Пусть $v\in T_eG$ -- какой -нибудь вектор. Через $F_a:G\to G$ обозначим следующую операцию $F_a(f)=af.$ Она называется левым сдвигом.
Вектору $v$ можно поставить в соответствие векторное поле на $G$, делается это следующим образом: $v(x)=dF_x(e)\circ v$.
3) Пусть теперь $u,v\in T_eG$. Этим векторам поставим в соответствие векторные поля $u(x),v(x)$ указанным выше способом, и по определению положим $[u,v]:=[u(x),v(x)](e)$. Можно показать, что будучи снабженным такой операцией пространство $T_eG$ превращается в алгебру Ли. Это алгебра Ли группы $G$.


и? У меня же расписано уже, из чего видно, что я понимаю что такое алгебра Ли группы Ли, а тем более, что такое группа Ли

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 11:37 


10/02/11
6786
Braga в сообщении #1036087 писал(а):
У меня же расписано уже, из чего видно, что я понимаю

так это замечательно! а зачем вы сюда пришли тогда, раз понимаете? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 11:41 


14/01/14
85
Oleg Zubelevich в сообщении #1036088 писал(а):
Braga в сообщении #1036087 писал(а):
У меня же расписано уже, из чего видно, что я понимаю

так это замечательно! а зачем вы сюда пришли тогда, раз понимаете? :mrgreen:


Ну так вот я не понимаю как решить КОНКРЕТНУЮ задачу - доказать, почему алгебра Ли абелева у абелевой группы Ли. Свои скудные наработки я показал в первом сообщении

-- 12.07.2015, 12:44 --

Если там где-то ошибка, то буду благодарен, если укажете на нее

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 11:44 


10/02/11
6786
Padawan в сообщении #1036058 писал(а):
Алгебра Ли абелевой группы Ли не просто абелевая, а нулевая.

а что такое нулевая алгебра?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 11:53 


14/01/14
85
Oleg Zubelevich в сообщении #1036095 писал(а):
Padawan в сообщении #1036058 писал(а):
Алгебра Ли абелевой группы Ли не просто абелевая, а нулевая.

а что такое нулевая алгебра?



Не забывайте, что это не моё утверждение :-) Может быть Padawan имел в виду, что скобка Ли нулевая, что и есть абелевость, но он об этом забыл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 13:00 


10/02/11
6786
а я вам уже говорил
Oleg Zubelevich в сообщении #1033918 писал(а):
когда непонятен инвариантный смысл формул надо расписывать в координатах

введем в малой окрестности единицы локальные координаты, так, что $e=(0,...0)$. Умножение будет иметь вид $(xy)^k=x^k+y^k+b_{ij}^kx^iy^j+...$. Если группа абелева то $b_{ij}^k=b_{ji}^k$.

-- Вс июл 12, 2015 13:01:42 --

$x$ -- элемент группы с координатами $x^i$

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 13:16 


14/01/14
85
Oleg Zubelevich в сообщении #1036136 писал(а):
Умножение будет иметь вид $(xy)^k=x^k+y^k+b_{ij}^kx^iy^j+...$. Если группа абелева то $b_{ij}^k=b_{ji}^k$.
$x$ -- элемент группы с координатами $x^i$


Мне что-то совсем непонятен вид этой формулы.
Опишите, пожалуйста обозначания, которые вы используете. $(xy)^k=\varphi(xy)_k$ для некоторой карты $(U, \varphi)$? Откуда там появляется плюс и что такое b?

P.S. Вы, наверное, физик? :-) Ваши математические объяснения выглядят как математические объяснения в учебниках для физиков или по физике :-) А не как в учебниках для математиков

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 13:20 


10/02/11
6786
$(xy)^k$ это $k$-я координата элемента $xy$
Braga в сообщении #1036144 писал(а):
Откуда там появляется плюс и что такое b?

про формулу Тейлора слышали?

-- Вс июл 12, 2015 13:21:40 --

Braga в сообщении #1036144 писал(а):
Ваши математические объяснения выглядят как математические объяснения в учебниках для физиков или по физике :-) А не как в учебниках для математиков

а вы не доросли до учебников для математиков, иначе вы тривиальных вопросов не задавали бы

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение12.07.2015, 15:42 


15/04/12
162
Это разложение - ряд тейлора в единице для произведения двух элементов группы Ли, обычно выводится в любом учебнике - ну а так его легко понять из свойства $x e=x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра Ли абелевой группы Ли
Сообщение13.07.2015, 12:29 
Заслуженный участник


13/12/05
4207
Oleg Zubelevich,Braga
Да, я имел ввиду, что $[u,v]=0$ для любых векторов $u,v\in T_e G$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group