В
topic82091.html поднималась тема различного определения суммирования
![$\sum\limits_{n = -\infty}^{+\infty} c_n z^n$ $\sum\limits_{n = -\infty}^{+\infty} c_n z^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/6/4c62597ddfd3b94822a9c0d1b67f04fc82.png)
. В книге Шабат Б. В. "Введение в комплексный анализ" в разделе "Ряды Лорана" сказано: "Таким образом, ряд Фурье функции
![$\phi(t), t \in [0, 2\pi]$ $\phi(t), t \in [0, 2\pi]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/3/df30ce0c87a815a187025780697deefc82.png)
, записанный в комплексной форме, является рядом Лорана функции
![$f(z) = \phi(t)$ $f(z) = \phi(t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/9/0898fedeebdc65f56f9e78e06eacb5a782.png)
, где
![$z = e^{it}$ $z = e^{it}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/c/21cc0ee00b9ad0d629a039d8688eb99982.png)
на единичной окружности
![$\{\abs{z} = 1\}$ $\{\abs{z} = 1\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/5/205fa0fd89eb17fdde993abb74c60d3c82.png)
. Очевидно, что и обратно, ряд Лорана функции
![$f(z)$ $f(z)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/210d22201f1dd53994dc748e9121066482.png)
на единичной окружности является рядом Фурье функции
![$f(e^{it}) = \phi(t)$ $f(e^{it}) = \phi(t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/c/4bc8afe5ebbd1c7a534badebe651dd2582.png)
на отрезке
![$[0, 2\pi]$ $[0, 2\pi]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/0/7806407f62e883177c7ca4d0d81c183c82.png)
."
В то, что обратно верно, верится, так как если сходятся порознь ряды
![$\sum\limits_{n = -1}^{-\infty} c_n z^n$ $\sum\limits_{n = -1}^{-\infty} c_n z^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/8/cb8e293edfd99177c4cb1cd2ce3bd21882.png)
и
![$\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} c_n z^n$ $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} c_n z^n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/1/661eb77dd72d86ca0da2cdf537d1f7a182.png)
, то и единый предел сходится.
А вот в прямое утверждение не верится. Верно ли оно?