Является ряд Фурье рядом Лорана?

[Jukier]

В topic82091.html поднималась тема различного определения суммирования $\sum\limits_{n = -\infty}^{+\infty} c_n z^n$. В книге Шабат Б. В. "Введение в комплексный анализ" в разделе "Ряды Лорана" сказано: "Таким образом, ряд Фурье функции $\phi(t), t \in [0, 2\pi]$, записанный в комплексной форме, является рядом Лорана функции $f(z) = \phi(t)$, где $z = e^{it}$ на единичной окружности $\{\abs{z} = 1\}$. Очевидно, что и обратно, ряд Лорана функции $f(z)$ на единичной окружности является рядом Фурье функции $f(e^{it}) = \phi(t)$ на отрезке $[0, 2\pi]$."

В то, что обратно верно, верится, так как если сходятся порознь ряды $\sum\limits_{n = -1}^{-\infty} c_n z^n$ и $\sum\limits_{n = 0}^{+\infty} c_n z^n$, то и единый предел сходится.

А вот в прямое утверждение не верится. Верно ли оно?

[ewert]

Jukier в сообщении #1035956 писал(а):

А вот в прямое утверждение не верится. Верно ли оно?

Оно тривиально верно: ряд по комплексным экспонентам тривиально является рядом Лорана (т.е. двусторонним степенным) относительно просто экспоненты.

[Jukier]

Вопрос в различиях определения рядов Фурье и Лорана. А точнее в различии их суммирования. Ряд Лорана, определенный как сумма двух рядов, не обязан сходится в том случае, когда ряд Фурье сходится, определенный как предел одной суммы.

[ewert]

Jukier в сообщении #1035964 писал(а):

, когда ряд Фурье сходится, определенный как предел одной суммы.

Ряд Фурье именно по экспонентам -- он по определению двусторонний.

[Jukier]

Цитата:

Ряд Фурье именно по экспонентам -- он по определению двусторонний.

Что значит "двусторонний"? Я же и ссылаюсь на другой topic82091.html. Двусторонний ряд Фурье в комплексном виде определяется не так как двусторонний ряд Лорана.

[ewert]

Применительно к двустороннему ряду (не важно, Фурье там или ещё как его фамилия) понятие "главного значения" если и применяют, то не более чем в триста восемьдесят шестую очередь. В первую же -- подразумевается сходимость обоих его хвостов независимо друг от друга.

[Jukier]

ewert в сообщении #1035970 писал(а):

Применительно к двустороннему ряду (не важно, Фурье там или ещё как его фамилия) понятие "главного значения" если и применяют, то не более чем в триста восемьдесят шестую очередь. В первую же -- подразумевается сходимость обоих его хвостов независимо друг от друга.

Комплексная форма рядов Фурье выводится именно при условии одновременного стремления к бесконечности обоих хвостов в одной сумме. Более того, мне будет интересен источник, где этого нет.

[Red_Herring]

Jukier в сообщении #1035972 писал(а):

Комплексная форма рядов Фурье выводится именно при условии одновременного стремления к бесконечности обоих хвостов в одной сумме.

Это некая традиция вывода: начать с тригонометрического, потом перейти к комплексным экспонентам. Но потом к.р. Ф. начинает жить собственной жизнью как двусторонний ряд.

При этом для тригонометрических (и соответственно комплексных в смысле г.з.) верно, что сумма в точке разрыва первого рода при подходящих предположениях равна полусумме пределов функции слева и справа; двусторонний р.Ф. в таких точках расходится.

[Jukier]

Red_Herring в сообщении #1035989 писал(а):

Это некая традиция вывода: начать с тригонометрического, потом перейти к комплексным экспонентам. Но потом к.р. Ф. начинает жить собственной жизнью как двусторонний ряд.

При этом для тригонометрических (и соответственно комплексных в смысле г.з.) верно, что сумма в точке разрыва первого рода при подходящих предположениях равна полусумме пределов функции слева и справа; двусторонний р.Ф. в таких точках расходится.

Здесь я соглашусь, но тогда формально у Шабата без вашего примечания написано ложное утверждение. Он выводит ряд Фурье в комплексной форме традиционно, а потом делает необоснованный вывод.

[Red_Herring]

Как бы мы не выводили $\sum_{n=-\infty}^\infty$ имеет вполне определенный смысл и требуется, чтобы оба ряда $\sum_{n=-\infty}^{-1}$ и $\sum_{n=0}^\infty$ сходились. Ваша попытка убедить всех что тут ошибка у Б.В.Шабата ничего, ктроме раздражения вызвать не может. При этом никакого "моего" примечания не нужно. Единственное, что нужно—показать что для приличных функций комплексный р.Ф. сходится.

[Jukier]

Red_Herring в сообщении #1036059 писал(а):

Как бы мы не выводили $\sum_{n=-\infty}^\infty$ имеет вполне определенный смысл и требуется, чтобы оба ряда $\sum_{n=-\infty}^{-1}$ и $\sum_{n=0}^\infty$ сходились. Ваша попытка убедить всех что тут ошибка у Б.В.Шабата ничего, ктроме раздражения вызвать не может. При этом никакого "моего" примечания не нужно. Единственное, что нужно—показать что для приличных функций комплексный р.Ф. сходится.

У Шабата выводится один ряд, а потом ложно отождествляется с другим. Тождества нет. Здесь необходимо примечание о сужении множества разложимых в ряд функций.