Функция Эйри

[sahek]

Имеется функия Эйри, также имеется интеграл вида $\int_{0}^{\infty} e^{at^3+\eta t} dt$, каким образом последнее можно выразить через функцию Эйри. Понятное дело, что параметрами $a$ и $\eta$ можно управлять. а соответственно равно 1/3, исходя из вида функции Эйри.

Изначально пытался привести искомый интеграл, используя формулу Эйлера к виду $\Phi(\eta)(1+i)$, однако нет возможности преобразовать синус в косинус.

[Brukvalub]

sahek писал(а):

параметрами $a$ и $\eta$ можно управлять. а соответственно равно 1/3, исходя из вида функции Эйри.

Если

\[a = \frac{1}{3}\]

, то интеграл расходится, поэтому выражать-то нечего. И, вообще, само требование

sahek писал(а):

Имеется функия Эйри, также имеется интеграл вида $\int_{0}^{\infty} e^{at^3+\eta t} dt$, каким образом последнее можно выразить через функцию Эйри.

, а затем слова:

sahek писал(а):

Понятное дело, что параметрами $a$ и $\eta$ можно управлять

звучат, лично для меня, несколько странно. Обычно параметры должны участвовать в конечном выражении, а не отыскиваться, исходя из условия представления функции.

[sahek]

как бы странно это не звучало, но на данном этапе это так. их можно менять. в частности, a=1, но можно домножить и поделить на 3, а потом занести лишнее в $\eta$, придя к виду $t/3+\eta t$

по поводу сходимости, интеграл вида
$\int_{0}^{\infty}\frac{i}{q} (e^{-iqr}-e^{iqr})dr$
вам тоже кажется расходящимся?

[Brukvalub]

sahek писал(а):

как бы странно это не звучало, но на данном этапе это так. их можно менять. в частности, a=1, но можно домножить и поделить на 3, а потом занести лишнее в $\eta$, придя к виду $t/3+\eta t$

А как тогда быть с расходимостью? Рассматриваемый интеграл расходится при всех положительных а. Это Вас не смущает? Да и куб первой переменной в показателе таинственно исчез. Вы иллюзионист?

[sahek]

Brukvalub писал(а):

Да и куб первой переменной в показателе таинственно исчез. Вы иллюзионист?

извините, опечатался, куб там никуда не пропадает, действительно.

[Brukvalub]

sahek писал(а):

по поводу сходимости, интеграл вида
$\int_{0}^{\infty}\frac{i}{q} (e^{-iqr}-e^{iqr})dr$
вам тоже кажется расходящимся?

Мне ничего не кажется. Я умею отличать сходящиеся интегралы от расходящихся. Я обсуждал Ваш первый интеграл, а не вообще множество всех несобственных интегралов. Так вот первый интеграл при

\[a = \frac{1}{3}\]

расходится, поскольку модуль подынтегральной функции при таком а неограниченно и монотонно, начиная с больших t, возрастает. Если Вы считаете иначе, хотелось бы услышать более весомые аргументы, чем просто выписывание неких других интегралов.

[sahek]

понятно, будем думать.
Однако, согласно Градштейну возможно взятие интеграла вида $\int_{0}^{\infty} \left\{ \begin{array}{l} sin(at^3+bt) \\ cos (at^3+bt) \end{array} \right \}dt $

[Brukvalub]

sahek писал(а):

Однако, согласно Градштейну возможно взятие интеграла вида $\int_{0}^{\infty} \left\{ \begin{array}{l} sin(at^3+bt) \\ cos (at^3+bt) \end{array} \right \}dt $

Это тоже не всегда верно. Например, это неверно при а=0 и b=1

[sahek]

ну у меня, а и б больше нуля. однозначно. потому возможно использование данной формулыЮ не правда ли?
Да, подскажите еще пожалуйста, что если у меня будет определенный интерал. правда в этом случае я не смогу его свести к функции Эйри.

[Brukvalub]

sahek писал(а):

ну у меня, а и б больше нуля. однозначно. потому возможно использование данной формулыЮ не правда ли?

Какой формулой? Вы никакой формулы не указали

sahek писал(а):

Да, подскажите еще пожалуйста, что если у меня будет определенный интерал. правда в этом случае я не смогу его свести к функции Эйри.

Какой определённый интеграл? Вы не указали никакого определённого интеграла.

[sahek]

Brukvalub писал(а):

Какой формулой? Вы никакой формулы не указали

имеется ввиду следующее
$\int_{0}^{\infty}sin(ax^p + bx^q)dx=\frac{1}{p}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-b)^k}{k!}a^{- \frac{kq+1}{p}}\Gamma(\frac{kq+1}{p}) sin[\frac{k(q-p)+1}{2p}2 \pi]$
вроде верно, ну и подобное, только для косинуса.

Brukvalub писал(а):

Какой определённый интеграл? Вы не указали никакого определённого интеграла.

имеется виду искомый.
$\int_{t_1}^{t_2} e^{i(at^3+\eta t)} dt$

[Brukvalub]

При

sahek писал(а):

имеется ввиду следующее
$\int_{0}^{\infty}sin(ax^p + bx^q)dx=\frac{1}{p}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-b)^k}{k!}a^{- \frac{kq+1}{p}}\Gamma(\frac{kq+1}{p}) sin[\frac{k(q-p)+1}{2p}2 \pi]$

При a=b=p=q=1 этот интеграл расходится Я бы посоветовал Вам внимательнее относиться к допустимым в формулах значениям параметров!

[sahek]

странно, а в градштейне указано, что решение дествительно, когда все параметры больше нуля.

[Brukvalub]

sahek писал(а):

странно, а в градштейне указано, что решение дествительно, когда все параметры больше нуля.

градштейнов не читал, но ,надеюсь, Вы понимаете, что

\[\int\limits_0^\infty {\sin 2xdx} \]

расходится ? (если Вы в этом сомневаетесь, то критерий Коши поможет преодолеть сомнения).

[sahek]

не думаю, что в этом могут быть какие либо сомнения. насколько я понял, видится, только одно решение сложившейся ситуации - это установка пределов интегрирования. это возможно, только вот я не представляю возможным его взятие.
$\int_{t_1}^{t_2} e^{i(at^3+\eta t)} dt$