Квадраты, зажатые между суммами простых чисел

[function]

Здравствуйте! Решаю вот такую задачу:
Докажите, что между $S_n$ и $S_{n+1}$ найдётся по крайней мере один точный квадрат. Здесь $S_n$ --- сумма первых $n$ простых чисел.

Допустим, что это неверно, тогда очевидно, что $\begin{cases} \left\lfloor \sqrt{S_{n+1}}\right\rfloor ^{2}<S_{n},\\ \left\lceil \sqrt{S_{n}}\right\rceil ^{2}>S_{n+1} \end{cases}\Rightarrow S_{n}+\left\lceil \sqrt{S_{n}}\right\rceil ^{2}>S_{n+1}+\left\lfloor \sqrt{S_{n+1}}\right\rfloor ^{2}.$
Т. к. заведомо $S_n<S_{n+1}$ остаётся лишь показать, что $\left\lceil \sqrt{S_{n}}\right\rceil ^{2}<\left\lfloor \sqrt{S_{n+1}}\right\rfloor ^{2}$ и прийти к противоречию, но на этом я застрял. Дальше, конечно, нужно применить <<$S_n$ --- сумма первых $n$ простых чисел>>, а как?

[iancaple]

Примерно так оно и начинается в Хонсбергер Р. - Математические изюминки (Б-ка Квант 83, Наука, 1992)-задача 88. Но если хотите довести сами - попробуйте после некоторых преобразований оценить сверху $S_n$ суммой всех нечетных чисел, не превосходящих $p_n$, оказывается, этого достаточно

[function]

Спасибо, iancaple!

Цитата:

попробуйте после некоторых преобразований оценить сверху $S_n$ суммой всех нечетных чисел, не превосходящих $p_n$, оказывается, этого достаточно

Я всё же решил пока не заглядывать в библиотечку, а подумать. В результате получилось, что $\left\lceil \sqrt{S_{n}}\right\rceil <\left\lceil \sqrt{1+3+5+...+p_{n}}\right\rceil =\left\lceil \cfrac{1+p_{n}}{2}\right\rceil =\cfrac{1+p_{n}}{2}$, но неравенство $\cfrac{1+p_{n}}{2}<\left\lfloor \sqrt{S_{n+1}}\right\rfloor $, вообще говоря, неверно (например, при $n=7$), а должно быть верно, чтобы $ $\left\lceil \sqrt{S_{n}}\right\rceil ^{2}<\left\lfloor \sqrt{S_{n+1}}\right\rfloor ^{2}$$. Видимо, я не так Вас понял?

[ex-math]

Вам не нужно это неравенство, достаточно более слабого, ведь $S_n\neq S_{n+1} $.

[iancaple]

Чисто технические замечания
1.Не использовать пол/потолок, а доказать, что $\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}\geq 1$, отсюда будет следовать, что хоть одно целое число между этими корнями есть. Ввести в это неравенство $p_n$, а что-нибудь убрать
2.Оценка сверху верна не при всех $n$, например $S_4=2+3+5+7$ еще не оценивается так, малые $n$ проверить отдельно

[function]

iancaple в сообщении #1033509 писал(а):

Чисто технические замечания
1.Не использовать пол/потолок, а доказать, что $\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}\geq 1$, отсюда будет следовать, что хоть одно целое число между этими корнями есть. Ввести в это неравенство $p_n$, а что-нибудь убрать

$\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_{n}}\geqslant1\Longleftrightarrow S_{n}+p_{n+1}\geqslant1+S_{n}+2\sqrt{S_{n}}\Longleftrightarrow p_{n+1}\geqslant1+2\sqrt{S_{n}}$. Но $S_n<\left(\cfrac{1+p_{n}}{2}\right)^{2}$ (при $n>4$), откуда и $1+2\sqrt{S_{n}}\leqslant2+p_{n}$, кроме того, $p_{n+1}\geqslant 2+p_n$, т. к. простые числа не идут подряд через 1 (исключение 2, 3), и могут попадаться близнецы, а значит и подавно $p_{n+1}\geqslant1+2\sqrt{S_{n}}$, откуда и следует требуемое.

iancaple в сообщении #1033509 писал(а):

2.Оценка сверху верна не при всех $n$, например $S_4=2+3+5+7$ еще не оценивается так, малые $n$ проверить отдельно

Да, эти случаи не составляют большого труда.

Спасибо, разобрался!