2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадраты, зажатые между суммами простых чисел
Сообщение04.07.2015, 16:38 


11/11/12
172
Здравствуйте! Решаю вот такую задачу:
Докажите, что между $S_n$ и $S_{n+1}$ найдётся по крайней мере один точный квадрат. Здесь $S_n$ --- сумма первых $n$ простых чисел.

Допустим, что это неверно, тогда очевидно, что $\begin{cases}
\left\lfloor \sqrt{S_{n+1}}\right\rfloor ^{2}<S_{n},\\
\left\lceil \sqrt{S_{n}}\right\rceil ^{2}>S_{n+1}
\end{cases}\Rightarrow S_{n}+\left\lceil \sqrt{S_{n}}\right\rceil ^{2}>S_{n+1}+\left\lfloor \sqrt{S_{n+1}}\right\rfloor ^{2}.$
Т. к. заведомо $S_n<S_{n+1}$ остаётся лишь показать, что $\left\lceil \sqrt{S_{n}}\right\rceil ^{2}<\left\lfloor \sqrt{S_{n+1}}\right\rfloor ^{2}$ и прийти к противоречию, но на этом я застрял. Дальше, конечно, нужно применить <<$S_n$ --- сумма первых $n$ простых чисел>>, а как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадраты, зажатые между суммами простых чисел
Сообщение04.07.2015, 18:24 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Примерно так оно и начинается в Хонсбергер Р. - Математические изюминки (Б-ка Квант 83, Наука, 1992)-задача 88. Но если хотите довести сами - попробуйте после некоторых преобразований оценить сверху $S_n$ суммой всех нечетных чисел, не превосходящих $p_n$, оказывается, этого достаточно

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадраты, зажатые между суммами простых чисел
Сообщение04.07.2015, 21:09 


11/11/12
172
Спасибо, iancaple!
Цитата:
попробуйте после некоторых преобразований оценить сверху $S_n$ суммой всех нечетных чисел, не превосходящих $p_n$, оказывается, этого достаточно

Я всё же решил пока не заглядывать в библиотечку, а подумать. В результате получилось, что $\left\lceil \sqrt{S_{n}}\right\rceil <\left\lceil \sqrt{1+3+5+...+p_{n}}\right\rceil =\left\lceil \cfrac{1+p_{n}}{2}\right\rceil =\cfrac{1+p_{n}}{2}$, но неравенство $\cfrac{1+p_{n}}{2}<\left\lfloor \sqrt{S_{n+1}}\right\rfloor $, вообще говоря, неверно (например, при $n=7$), а должно быть верно, чтобы $ $\left\lceil \sqrt{S_{n}}\right\rceil ^{2}<\left\lfloor \sqrt{S_{n+1}}\right\rfloor ^{2}$$. Видимо, я не так Вас понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадраты, зажатые между суммами простых чисел
Сообщение04.07.2015, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Вам не нужно это неравенство, достаточно более слабого, ведь $S_n\neq S_{n+1} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадраты, зажатые между суммами простых чисел
Сообщение04.07.2015, 22:29 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Чисто технические замечания
1.Не использовать пол/потолок, а доказать, что $\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}\geq 1$, отсюда будет следовать, что хоть одно целое число между этими корнями есть. Ввести в это неравенство $p_n$, а что-нибудь убрать
2.Оценка сверху верна не при всех $n$, например $S_4=2+3+5+7$ еще не оценивается так, малые $n$ проверить отдельно

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадраты, зажатые между суммами простых чисел
Сообщение05.07.2015, 10:50 


11/11/12
172
iancaple в сообщении #1033509 писал(а):
Чисто технические замечания
1.Не использовать пол/потолок, а доказать, что $\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}\geq 1$, отсюда будет следовать, что хоть одно целое число между этими корнями есть. Ввести в это неравенство $p_n$, а что-нибудь убрать

$\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_{n}}\geqslant1\Longleftrightarrow S_{n}+p_{n+1}\geqslant1+S_{n}+2\sqrt{S_{n}}\Longleftrightarrow p_{n+1}\geqslant1+2\sqrt{S_{n}}$. Но $S_n<\left(\cfrac{1+p_{n}}{2}\right)^{2}$ (при $n>4$), откуда и $1+2\sqrt{S_{n}}\leqslant2+p_{n}$, кроме того, $p_{n+1}\geqslant 2+p_n$, т. к. простые числа не идут подряд через 1 (исключение 2, 3), и могут попадаться близнецы, а значит и подавно $p_{n+1}\geqslant1+2\sqrt{S_{n}}$, откуда и следует требуемое.
iancaple в сообщении #1033509 писал(а):
2.Оценка сверху верна не при всех $n$, например $S_4=2+3+5+7$ еще не оценивается так, малые $n$ проверить отдельно

Да, эти случаи не составляют большого труда.

Спасибо, разобрался!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group