Ещё задача по электростатике

[fronnya]

Два положительных заряда $q_1$ и $q_2$ находятся в точках с радиус-векторами $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$. Найти отрицательный заряд $q_3$ и радиус-вектор $r_3$ точки, в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из зарядов была равна нулю.

Понятно, что равновесие возможно, если третий заряд будет находиться на линии, соединяющей два положительных заряда, при чем он будет находиться между этими зарядами.

Расположим заряды 1 и 2 как указано на рисунке

Запишем, например, данное условия для 3 заряда:
$\vec{F}_{23}+\vec{F}_{13}=0$
А это значит $F_{23}=F_{13}$ или

$$\frac{q_2}{(|\vec{r}_1-\vec{r}_3|)^2}=\frac{q_1}{(|\vec{r}_2-\vec{r}_3|)^2}$$

Модули можно убрать, там ведь и так квадраты, поэтому можно выразить $\vec{r}_3$

$$\vec{r}_3=\frac{\vec{r}_2\sqrt{q_1}-\vec{r}_1\sqrt{q_2}}{\sqrt{q_1}-\sqrt{q_2}}$$

Ошибка где-то закралась. Потому что в ответах вместо минусов плюсы.

[Atom001]

fronnya
Сначала вы сняли модули, а потом, когда избавились от квадратов, то снова получили модули: $\sqrt{x^2}=|x|$.
И ещё, вы перепутали знаменатели.

[levtsn]

Можно упростить приняв один заряд единичным и в нуле.

[fronnya]

Atom001 в сообщении #1033321 писал(а):

fronnya
Сначала вы сняли модули, а потом, когда избавились от квадратов, то снова получили модули: $\sqrt{x^2}=|x|$.
И ещё, вы перепутали знаменатели.

Ну там опечатка

$$\frac{q_1}{(\vec{r}_3-\vec{r}_1)^2}=\frac{\vec{q}_2}{(\vec{r}_3-\vec{r}_2)^2}$$

Можем ведь так сделать

$$\left(\frac{\vec{r}_3-\vec{r}_2}{\vec{r}_3-\vec{r}_1}\right)^2=\frac{q_2}{q_1}$$

и далее

$$\left|\frac{\vec{r}_3-\vec{r}_2}{\vec{r}_3-\vec{r}_1}\right|=\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}$$

Однако к искомому ответу все равно не приводит.

[DimaM]

fronnya в сообщении #1033504 писал(а):

Можем ведь так сделать

$$\left(\frac{\vec{r}_3-\vec{r}_2}{\vec{r}_3-\vec{r}_1}\right)^2=\frac{q_2}{q_1}$$

Не-а, не можем. Что еще за вектор в знаменателе?

[fronnya]

Ладно, а можно вот так последовательно раскрыть модули?

$$\frac{q_2}{(\vec{r}_3-\vec{r}_1)^2}=\frac{q_1}{(\vec{r}_3-\vec{r}_2)^2}$$

$$\frac{(\vec{r}_3-\vec{r}_2)^2}{(\vec{r}_3-\vec{r}_1)^2}=\frac{q_2}{q_1}$$

$$|\vec{r}_3-\vec{r}_2|=\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}|\vec{r}_3-\vec{r}_1|$$

Модуль слева берем с минусом, а модуль справа раскрываем с плюсом и получаем нужный ответ.

[arseniiv]

Можете брать их все и так, и эдак. Если вы предполагали правильно, решение будет действительно одно. А если их будет два…