2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Количество 6значных чисел где 7ки группами
Сообщение26.06.2015, 20:32 


07/04/15
244
1. Посчитать все шестизначные числа такие, в которых семерки идут группами (либо их вообще нет).
(Например: $772771$, $777177$, $345890$ допустимые, а $711111$, $777173$ недопустимые)
2. Посчитать все шестизначные числа такие, в которых семерки есть и идут группами.

Пусть $a_n$ количество n-буквенных слов, в которых если есть семерки, то идут группами и они начинаюся не с $0$. Пусть $b_n$ количество n-буквенных слов, в которых если есть семерки, то они идут группами и они начинаются с $0$. Ответ на вопрос 1 задачи есть $a_6$, на вопрос 2 $a_6-8\cdot9^5$.

Рассмотрим $a_n$. Если начинается с $7$, то и вторая цифра должна быть семерка. Третья может быть $0$ и может быть любая другая. Получаем, $a_{n-2}+b_{n-2}$. Если начинается не $7$, т.е. c $\{1,2,3,4,5,6,8,9\}$ -- $0$ не может быть по определению $a_{n}$, имеем $8$ вариантов. Вторая цифра может быть любая, тогда получаем $8(a_{n-1}+b_{n-1})$.
Итого:
$$a_n=a_{n-2}+b_{n-2}+8(a_{n-1}+b_{n-1})$$

Рассмотрим $b_n$.
Вторая цифра может быть любой, так что тут
$$b_n=b_{n-1}+a_{n-1}$$
Заметим, что $a_{n-1}=b_{n}-b_{n-1}$. Т.е. если мы научимся вычислять (или найдем в замкнутой форме) последовательность $b_n$, то по ней последовательность $a_n$ восстанавливается тут же.

Первое уравнение с учетом $b_n=b_{n-1}+a_{n-1}$ переформулирется как:
$$a_n=b_{n-1}+8b_{n}$$
Или, что тоже самое:
$$a_{n-1}=b_{n-2}+8b_{n-1}$$
И исключая $a_{n-1}$ получаем:
$$b_{n}-b_{n-1}=b_{n-2}+8b_{n-1}$$
В итоге:
$$b_{n}=b_{n-2}+9b_{n-1}$$

Это линейное реккурентное уравнение. Легко получить замкнутое выражение, но корни иррациональные, поэтому просто вычислим до $b_7$ и получим $a_6=b_7-b_6$.
$b_1=1$ (единственное однозначное с первым $0$ это $0$)
$b_2=9$ (единcтвенное двузначное с первым $0$ и с $7$ это $07$, не подходит, остальные подходят, $00,01,02,03,04,05,06,08,09$)
$b_3=1+9\cdot9=1+9^2=82$
$b_4=b_2+9b_3=9+9(1+9^2)=2\cdot9+9^3=747$
$b_5=b_3+9b_4=1+9^2+9(2\cdot9+9^3)=1+3\cdot9^2+9^4=6805$
$b_6=b_4+9b_5=61992$
$b_7=b_5+9b_6=564733$

И наконец:
$$a_6=b_7-b_6=502741$$
Всего шестизначных чисел, где 7ки либо отсутствуют, либо идут блоками $a_6=502741$, шестизначных чисел, где обязательно 7ки есть и идут блоками $a_6-8\cdot9^5=30349$

Где-то я ошибаюсь. Правильный $a_6=505449$. Помогите разобраться, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество 6значных чисел где 7ки группами
Сообщение26.06.2015, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Возможна только одна либо две группы семёрок. В первом случае группа может иметь размер: $2, 3, 4, 5, 6.$ Во втором либо $(2,2),$ либо $(2,3).$ Рассмотрите каждый случай по отдельности. Сколько, например, положений может иметь единственная группа длины два? Для каждого такого положения возможно либо $8\cdot9^3,$ либо $9^4$ чисел (первый случай когда 7-ка не в самой левой позиции, так как первая цифра не может быть нулём).

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество 6значных чисел где 7ки группами
Сообщение27.06.2015, 07:41 


07/04/15
244
whitefox
Спасибо, так я умею, хотелось мое решение довести до конца

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество 6значных чисел где 7ки группами
Сообщение27.06.2015, 14:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
whitefox в сообщении #1031402 писал(а):
Для каждого такого положения возможно либо $8\cdot9^3,$ либо $9^4$ чисел (первый случай когда 7-ка не в самой левой позиции, так как первая цифра не может быть нулём).

Проще допустить начальный ноль и вычесть из количества шестизначных комбинаций количество пятизначных. Там много чего сократится, и останется лишь $5\cdot9^4+9^6-9^5+2\cdot9+3\cdot9^2-9$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество 6значных чисел где 7ки группами
Сообщение27.06.2015, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
ewert в сообщении #1031570 писал(а):
Там много чего сократится, и останется лишь $5\cdot9^4+9^6-9^5+2\cdot9+3\cdot9^2-9$

Можно и ещё подсократить — $85031_9$ :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество 6значных чисел где 7ки группами
Сообщение27.06.2015, 15:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
whitefox в сообщении #1031574 писал(а):
Можно и ещё подсократить — $85031_9$ :D

Ну я-то выписал слагаемые, остающиеся после только буквального сокращения (потому даже не стал объединять $2\cdot9-9$).

И, кстати, Ваше замечательное сокращение чуток сбито.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество 6значных чисел где 7ки группами
Сообщение27.06.2015, 15:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
ewert в сообщении #1031576 писал(а):
И, кстати, Ваше замечательное сокращение чуток сбито.

Что Вы имеете ввиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество 6значных чисел где 7ки группами
Сообщение27.06.2015, 15:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
whitefox в сообщении #1031579 писал(а):
Что Вы имеете ввиду?

А чему равен его остаток от деления на девять?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество 6значных чисел где 7ки группами
Сообщение27.06.2015, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
А, ну да :?
$850310_9$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group