2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение26.06.2015, 17:19 


21/06/15
12
Рассмотрим кубическое уравнение с комплексными коэффициентами $\[{z^3} + az + b = 0\]$ .

Требуется найти все пары $\[(a,b)\]$ , при которых точки комплексной плоскости, соответствующие корням уравнения, лежат на одной прямой, причём одна из них является серединой отрезка между двумя другими.

Предполагаю, что это возможно лишь в том случае, когда все три корня - вещественные, то есть $\[\frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^3}}}{{27}} < 0\]$.

Далее, пусть $\[{z_i}\]$ - корень уравнения. Поскольку все корни - вещественные числа, лежащие на одной прямой, и один из них соответствует середине отрезка, соединяющего два других, то $\[{z_1} + {z_2} = 2{z_3}\]$.

Пользуясь этим соотношением и выражениями для корней, получающимися из формулы Кардано, я пытаюсь найти отношение между коэффициентами, но во-первых, это не удаётся сделать, во-вторых, даже если получится найти отношение, то какими методами исследовать случай, когда коэффициенты комплексные?

Кроме того, возникает ещё один вопрос: правда ли, что во всех остальных случаях корни уравнения будут лежать на комплексной плоскости в вершинах правильного треугольника?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение26.06.2015, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
waxwing_slain в сообщении #1031281 писал(а):
Предполагаю, что это возможно лишь в том случае, когда все три корня - вещественные, то есть $\[\frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^3}}}{{27}} < 0\]$.

$z^3+z=0$ смотрит на Вас, скептически прищурившись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение26.06.2015, 18:04 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
waxwing_slain в сообщении #1031281 писал(а):
$\[\frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^3}}}{{27}} < 0\]$
Теперь неплохо бы ещё объяснить, что, собственно, может означать ваше неравенство в случае ваших, напоминаю, комплексных коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение26.06.2015, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7941
Москва
$(z-p)(z-q)(z-p/2-q/2)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение28.06.2015, 16:35 


21/06/15
12
Евгений Машеров
Пусть корни кубического уравнения таковы, что $\[{z_3} = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}\]$, и пусть $\[\begin{array}{l}
{z_1} = {a_1} + {a_2}i\\
{z_2} = {b_1} + {b_2}i\\
{z_3} = \frac{{{a_1} + {b_1}}}{2} + \frac{{{a_2} + {b_2}}}{2}i
\end{array}\]$
Тогда уравнение можно представить в виде $\[(z - {a_1} - {a_2}i)(z - {b_1} - {b_2}i)(z - \frac{{{a_1} + {b_1}}}{2} - \frac{{{a_2} + {b_2}}}{2}i) = 0\]$
Раскрывая скобки, получим кубическое уравнение, в общем случае с ненулевым коэффициентом при $\[{z^2}\]$.
$\[{z^3} + {c_1}{z^2} + {c_2}z + {c_3} = 0\]$
С помощью замены $\[z = t - \frac{{{c_1}}}{3}\]$ можно получить уравнение с нулевым коэффициентом при $\[{z^2}\]$. Заметим, что если корни таковы, что один из них является серединой отрезка между двумя другими, то после такой замены всегда получается уравнение вида $\[{t^3} + ct = 0\]$.

Теперь ясно, что все пары коэффициентов вида $\[(a,0)\]$, соответствуют уравнению $\[{z^3} + az= 0\]$, для которого верно, что один из корней является серединой отрезка между двумя другими. Следует ли из сказанного, что других пар, для которых это верно, не существует?

Ещё один похожий вопрос: требуется найти пары коэффициентов, при которых корни уравнения $\[{z^3} + az + b = 0\]$ лежат на комплексной плоскости в вершинах правильного треугольника. Ясно, что это верно для всех пар вида $\[(0,b)\]$. Как доказать, что не существует других пар, для которых это верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение28.06.2015, 16:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
waxwing_slain в сообщении #1031856 писал(а):
С помощью замены $\[z = t - \frac{{{c_1}}}{3}\]$ можно получить уравнение с нулевым коэффициентом при $\[{z^2}\]$.

Не нужно никаких замен -- Евгений Машеров намекал на теорему Виета: коэффициент при квадрате равен минус сумме корней, откуда $\frac32p+\frac32q=0$, вот и всё.

waxwing_slain в сообщении #1031856 писал(а):
это верно для всех пар вида $\[(0,b)\]$. Как доказать, что не существует других пар, для которых это верно?

А вот тут как раз заменой: сдвигом центр правильного треугольника можно сместить в ноль, после чего для новой переменной останется только куб и свободный член; но тогда обратный сдвиг непременно приведёт к появлению квадрата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение28.06.2015, 17:14 


21/06/15
12
ewert
Спасибо за ответ. Ясно, что существует замена, которая центр смещает в ноль, но какой именно вид имеет эта замена? И почему обратный сдвиг непременно приведёт к появлению квадрата?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение28.06.2015, 17:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
waxwing_slain в сообщении #1031865 писал(а):
но какой именно вид имеет эта замена?

Сдвиг. Т.е. просто прибавление константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение28.06.2015, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Замены, которые смещают, все имеют один и тот же вид: $z\mapsto{}z+const$.
Про квадрат - выпишите явным образом коэффициенты после сдвига, и увидите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение29.06.2015, 00:43 


21/06/15
12
Огромное спасибо за ответы! У меня возник ещё один вопрос, связанный с исследованием кубического многочлена.

$\[p(z) = {z^3} + az + b\]$

Пусть для любого комплексного числа $\[z\]$, такого что $\[\left| z \right| = 1\]$, выполнено $\[\left| {p(z)} \right| \le 1\]$. Требуется доказать, что в этом случае $\[a = b = 0\]$

Для того, чтобы это доказать, предположим противное. Пусть $\[a \ne 0\]$ или $\[b \ne 0\]$.

Пусть $\[z = x + iy\]$, по условию $\[\left| z \right| = 1\]$. Тогда $\[\left| x \right| = \sqrt {1 - {y^2}} \]$.

Дальше я выписываю выражения для вещественной и мнимой частей $\[p(z)\]$. Должно выполняться $\[\left| {p(z)} \right| \le 1\]$. С учётом всего сказанного, имеем иррациональное неравенство с двумя параметрами. Требуется доказать, что если оба параметра одновременно не равны нулю, то найдётся такой $\[{y_0} \in \left[ { - 1,1} \right]\]$, что $\[\left| {p(\sqrt {1 - {y_0}^2}  + i{y_0})} \right| > 1\]$. К сожалению, из-за технических трудностей провести доказательство не получается. Может быть можно доказать этот факт проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение29.06.2015, 10:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Докажите, что:

а) на границе $|z^3+az|=|z^2+a|\cdot1>1$ как минимум в двух диаметрально противоположных точках;

б) прибавление $b$ хотя бы в одной из этих точек ситуацию только ухудшит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимное расположение корней кубического уравнения
Сообщение29.06.2015, 11:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8270
waxwing_slain в сообщении #1031981 писал(а):
Может быть можно доказать этот факт проще?
Да, этот факт доказывается несложно, если его правильно сформулировать. Попробуйте доказать такое утверждение для многочлена $f(z)=z^n+1+h(z)$, где $0<\deg{h(z)}<n$. Если $h(z) \neq 0$, то $|f(\zeta^j)|>2$ для некоторого $j$ и, как следствие, $\max_{|z|=1}{|f(z)|}>2$. Здесь $\zeta=\cos{(2\pi/n)}+i\sin{(2\pi/n)}$ --- первообразный корень из единицы степени $n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group