Комплексные собственные значения энергии и импульса

[evgeniy]

Плотность лагранжевой функции скалярного поля, который в случае комплексного скалярного поля имеет вид
$L(\psi,\psi^*)=\partial_{\mu}\psi\partial^{\mu} \psi^*-m^2\psi\psi^*-g(\psi \psi^*)^2/2 \eqno(1) $
При этом тензор плотности энергии и импульса равен
$T_{\mu \nu}=\partial_{\mu} \psi^*\partial_{\nu}\psi+\partial_{\nu} \psi^*\partial_{\mu}\psi-Lg_{\mu \nu}$
При этом плотность энергии и импульса равна
$T_{00}=\hbar(\frac{\partial \psi^*}{c\partial t} \frac{\partial \psi}{c\partial t}+\nabla\psi^* \nabla\psi+m^2+ g(\psi \psi^*)^2/2)$
$c T_{i 0}=\hbar(\frac{\partial \psi^*}{c\partial t} \frac{\partial \psi}{c\partial x^i}+ \frac{\partial \psi^*}{c\partial x^i} \frac{\partial \psi}{c\partial t})$
Тензор плотности энергии и импульса является действительным, причем плотность энергии является положительно определенной.
При этом поле $\psi$ имеет размерность $cm^{-1/2}s^{-1/2}$.
А импульс и энергия поля равны
$P_{\mu}=\int T_{\mu 0}d^3 x \eqno(2)$
Приведем примеры, когда энергия и импульс являются комплексными. При условии $l=0,n=1$ волновая функция атома водорода равна $\psi_{10}=2\exp(-r/a_0)/a_0^{3/2}$. При этом собственный импульс $p_r=-i\hbar\frac{\partial \ln\psi_{10}}{\partial r}=i\frac{\hbar}{a_{0}}$ является мнимым.
Покажем, что и собственное значение импульса и энергии может быть комплексным. Так для ямы постоянной глубины $U_0$ размером $a$, см. задачу в ЛЛ3 к параграфу §22. Вне ямы решение имеет вид
$\psi=b \exp(\pm \chi x),\chi=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)} $ . Внутри ямы решение ищем в виде $\psi=c\sin(k_n x+\delta),k_n=\frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}$. Условие непрерывности $\psi^{‘}/\psi$ на границе ямы определяет в неявном виде значение энергии
$k_n a=n\pi-2\arcsin\frac{k_n \hbar}{\sqrt{2mU_0}}$
Откуда определится действительное и комплексное значение энергии $E_n$. При этом для внешности ямы имеем соотношение $\psi^{‘}/\psi=\pm \chi_n$, значит величина импульса комплексная $p_x=-i\hbar\frac{d\psi}{\psi dx}=\mp i \chi_n$.
Значит определение энергии и импульса в формуле (2) не учитывает его возможный комплексный характер и является не правильным. Вопрос как правильно определить тензор энергии импульса?

[Munin]

evgeniy в сообщении #1030988 писал(а):

Покажем, что и собственное значение импульса и энергии может быть комплексным. Так для ямы постоянной глубины $U_0$ размером $a$, см. задачу в ЛЛ3 к параграфу §22.

Стоп, стоп, стоп, а как вы эту яму подставляете в поле (1)? ЛЛ-3, вроде, говорит о ямах для совсем другого поля - для шрёдингеровской в. ф. А в (1) не упомянуто никакого потенциала.

[evgeniy]

Вы правы, но можно рассматривать и $g=0$, рассуждения не изменятся. Тензор плотности энергии и импульса останется тем же самым действительным, а плотность энергии положительна. Причем это общее определение тензора плотности энергии импульса для релятивистского случая должно подходить и для не релятивистского случая. Просто для не релятивистского случая нужно вычесть энергию покоя и получится отрицательная величина энергии. В обоих случаях энергия и импульс являются действительными.

[Munin]

Вы скажите,  куда керосин заливать  куда $U$ подставляете.

[evgeniy]

Я взял готовые формулы по определению энергии состояния в потенциальной яме из ЛЛ3. Только там потенциал ямы справа и слева разный, а я взял одинаковый, но это не принципиально. Выкладки см. ЛЛ3. Но если Вас такой ответ не устраивает я могу разобраться и переписать все выкладки из ЛЛ3.

[Munin]

evgeniy в сообщении #1031029 писал(а):

Я взял готовые формулы по определению энергии состояния в потенциальной яме из ЛЛ3.

А это ничего, что они от другого решения другого уравнения?

evgeniy в сообщении #1031029 писал(а):

Выкладки см. ЛЛ3. Но если Вас такой ответ не устраивает я могу разобраться и переписать все выкладки из ЛЛ3.

Я бы предпочёл, чтобы вы разобрались, и поняли, почему выкладки из ЛЛ-3 не имеют ни малейшего отношения к тому, что вы начали рассматривать.

Дальше вы можете попытаться написать свои выкладки, аналогичные. Тут два пути: либо успешно, либо безуспешно.

[evgeniy]

Munin в сообщении #1031045 писал(а):

evgeniy в сообщении #1031029

писал(а):
Я взял готовые формулы по определению энергии состояния в потенциальной яме из ЛЛ3.
А это ничего, что они от другого решения другого уравнения?

Я предлагаю два способа доказательства комплексности собственного значения импульса, одно из трехмерного решения уравнения Шредингера, другое из одномерного. Вы ничего не говорите о недостатках трехмерного решения, а говорите об одномерном волновом уравнении и его решении и почему то называете его другим уравнением. Определение плотности энергии и импульса можно построить и для одномерного пространства и оно будет действительным. Я же построил комплексное решение одномерного уравнения. Так что формулу для плотности энергии импульса надо менять как в одномерном, так и в трехмерном случае.

[Red_Herring]

Оператор импульса $-i\hbar \nabla$ а вовсе не $-i\hbar\partial_r$, который не является самосопряженным. Правильное квантование оператора радиальной компоненты $P_r= -i\hbar \Bigl( \partial_r +\frac{1}{r}\Bigr)$.

Квантовомеханические наблюдаемые самосопряженные операторы и не могут иметь невещественных собственных значений

[evgeniy]

Оператор $\nabla=\frac{1}{h_r}\frac{\partial }{\partial r},h_r=1$.
Munin Вы правы, вещественный тензор плотности энергии импульса который я привел относится к бозонам, а не к фермионам, для которых я вычислил комплексное собственное значение. Но фермионы тоже описываются тензором плотности энергии импульса действительным.
Причина по которой рассматривали действительные собственные значения эрмитовых операторов в том, что считали пространство действительным. Если считать пространство комплексным, то эрмитовость операторов квантовой механики не докажешь. Будет не стыковка. А комплексность пространства следует из приведенных примеров. Операторы импульса и энергии не эрмитовы, что доказывают приведенные примеры.

[Red_Herring]

evgeniy в сообщении #1031069 писал(а):

Оператор $\nabla=\frac{1}{h_r}\frac{\partial }{\partial r},h_r=1$.

Неверно, хотя бы потому что слева оператор векторный а справа скалярный. Остальное на том же уровне

[evgeniy]

Это $r $ компонента оператора градиента в сферической системе координат. Остальные компоненты такие же, только переменная меняется, и значение коэффициента Ламе. Посмотрите справочник или учебник по уравнениям математической физике. Я посмотрел. Просьба не посмотрев литературу не писать.

[Red_Herring]

evgeniy в сообщении #1031091 писал(а):

Просьба не посмотрев литературу не писать.

Для особо альтернативно одаренных поясняю: физикам в начале века повезло: они квантовали выражения вроде $F(q)+G(p )$ и получали симметрические (хотя бы) операторы. Но если бы Вам предложили квантовать (в одномерии) $qp$ что бы Вы получили? $-i\hbar x\partial_x$? Но это уже не симметрический оператор. Чтобы избежать подобных казусов в 1927 г Г. Вейль ввел квантование (по Вейлю) которое и считается общепринятым на сегодня. Ответ дается для любой $F(q,p)$, и для $qp$ получается $\frac{1}{2}\Bigl(-i\hbar x\partial_x-i\hbar\partial_x\x\Bigr)=-i\hbar x\partial_x-\frac{1}{2}i\hbar$. Подобным образом квантование $p_r$ дает $P_r= -i\hbar \Bigl( \partial_r +\frac{1}{r}\Bigr)$.

Либо Вы читаете не ту литературу, либо неправильно читаете.

[g______d]

evgeniy, напишите, для начала, в каком пространстве действуют эти ваши "операторы с комплексными собственными значениями".

[evgeniy]

Оператор импульса в декартовом пространстве определяется по формуле $\hat p_k=-i \hbar\frac{\partial }{\partial x^k}$=-i\hbar \nabla_k. В ортогональной криволинейной системе координат $q_1,q_2,q_3$ градиент равен $\nabla_k=\frac{1}{h_{q_k}}\frac{\partial }{\partial q_k}$, где величины $h_{q_k}$ это коэффициенты Ламе. Посмотрите справочник по уравнениям математической физике. Там есть формулы для градиента. В сферической системе координат $\nabla_r=\frac{\partial }{\partial r}$, так как коэффициент Ламе $h_r=1$.
Это основы тензорного исчисления для вычисления градиента в ортогональной криволинейной системе координат. Формулы для градиента $\nabla_r=\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r}$ тензорной алгебре нет, и откуда Вы ее взяли я не знаю. Посмотрите Корн Справочник по высшей математике и найдите там предлагаемую Вами формулу. Я с удовольствием посмотрю на эту формулу, если она там есть и сообщу, что был не прав.

g______d в сообщении #1031099 писал(а):

evgeniy, напишите, для начала, в каком пространстве действуют эти ваши "операторы с комплексными собственными значениями".

По моему убеждению существует единственное пространство, в котором надо записывать уравнения квантовой механики, это истинное пространство в котором происходят все процессы квантовой механики. Я считаю, что оно комплексное. Какие у меня основания для подобного высказывания. Вычисление собственных значений оператора импульса и с некоторыми оговорками оператора энергии показало, на основании известных решений квантовой механики, что эти собственные значения комплексные. Раз энергия и импульс комплексные, значит и координаты их описывающие являются комплексными. Почему я говорю, что оператор импульса не эрмитов в комплексном пространстве. Простое вычисление
$\int \varphi^*-i\hbar \partial_x \psi dxdydz=\int \psi i\hbar \partial_x \varphi^* dxdydz =[\int \psi^*- i\hbar \partial_x \varphi dx^*dy^*dz^*]^*$
В последнем интеграле переставлены волновые функции и он является комплексного сопряженным в случае действительного пространства, и он равен первому интегралу и значит оператор импульса эрмитов. Но в случае комплексного пространства он не эрмитов. Повторюсь. Почему я считаю что пространство комплексно, да потому что существуют комплексные собственные значения.

[g______d]

evgeniy в сообщении #1031122 писал(а):

По моему убеждению существует единственное пространство, в котором надо записывать уравнения квантовой механики, это истинное пространство в котором происходят все процессы квантовой механики.

Определение этого пространства дайте. Иначе вообще нет смысла говорить об операторах и их собственных значениях.