2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 21:13 


09/11/12
206
Донецк
Уважаемые коллеги ! Давайте обсудим один вопрос, на который я, к сожалению, не смог найти точный ответ.

Пусть $A\subset {\Bbb R}^n$ - произвольное неизмеримое по Лебегу множество. Возможно ли, что $A$ не содержит никаких измеримых подмножеств положительной меры Лебега ?

Заранее большое спасибо !

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Evgenii2012 в сообщении #1029424 писал(а):
Уважаемые коллеги ! Давайте обсудим один вопрос, на который я, к сожалению, не смог найти точный ответ.

Пусть $A\subset {\Bbb R}^n$ - произвольное неизмеримое по Лебегу множество. Возможно ли, что $A$ не содержит никаких измеримых подмножеств положительной меры Лебега ?

Заранее большое спасибо !


Разумеется, нет! Пример: $A = B \cup C$ где $B\cup C=\emptyset$, $B$ неизмеримо, $C $ измеримо

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 21:59 


09/11/12
206
Донецк
Большое спасибо, однако, я не понял Ваш ответ. Если Вы утверждаете, что это невозможно, то это нужно доказать, а не строить пример. Кстати, объединение множеств, одно из которых не пусто, не может быть пустым

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8040
Содержит ли такие подмножества множество Витали?

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:08 


09/11/12
206
Донецк
К сожалению, о множествах Витали мне ничего неизвестно

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:10 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Anton_Peplov в сообщении #1029436 писал(а):
Содержит ли такие подмножества множество Витали?
Нет. А потому ответ ТС --- да.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Evgenii2012
Простое рассуждение: возьмём любое неизмеримое множество и вычтем из него объединение всех входящих измеримых подмножеств положительной меры. Что-то ведь должно там остаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:15 


09/11/12
206
Донецк
Эти тривиальные вещи я не имел в виду. Речь идёт о следующем: есть некое неизмеримое множество $A,$ (заданное !) у которого есть, конечно, измеримые подмножества - пустое множество, одноточечное и т.д.
Спрашивается: можно ли подобрать измеримое множество $E\subset A$ так, чтобы $m(E)>0$ ? Для нулевой меры это очевидно, а вот для ненулевой пока непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13429
с Территории
Это может быть, а может и не быть возможно, смотря какое множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:17 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Множество Витали. В нем нет измеримых подмножеств положительной меры. Уже ж написали.
Не знаете, что за множество --- узнайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:19 


09/11/12
206
Донецк
Nemiroff в сообщении #1029438 писал(а):
Anton_Peplov в сообщении #1029436 писал(а):
Содержит ли такие подмножества множество Витали?
Нет. А потому ответ ТС --- да.


Вы не могли бы объяснить, почему множества Витали не содержат таких измеримых подмножеств ?

-- 21.06.2015, 21:26 --

Благодарю Вас за ответы, однако, всё это пока лишь наводящие соображения, а вовсе не решение проблемы

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8040
grizzly в сообщении #1029440 писал(а):
Простое рассуждение: возьмём любое неизмеримое множество и вычтем из него объединение всех входящих измеримых подмножеств положительной меры. Что-то ведь должно там остаться?

А что, объединение любой системы измеримых множеств положительной меры измеримо? Не только конечной или счетной, а любой?

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Anton_Peplov в сообщении #1029449 писал(а):
А что, объединение любой системы измеримых множеств положительной меры измеримо? Не только конечной или счетной, а любой?

Нет конечно, это была только подсказка. Дальше действуем по обычной схеме -- рассматриваем только попарно непересекающиеся подмножества положительной меры. Таких не может быть более чем счётное число. Их объединение будет принадлежать заданному множеству, которое без них уже не будет иметь подмножеств положительной меры, но всё ещё будет неизмеримым.

С множествами Витали всё ещё проще, если считать, что мы уже умеем их строить.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:41 


09/11/12
206
Донецк
Почему непересекающихся подмножеств положительной меры не более, чем счётно ?

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Ах, Вам нужен пример, что возможно (почему то я прочел "обязательно"). Два примера

1) Вспомним следующее построение примера неизмеримого множества: $[0,1)$ отождествляется с $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ разбивается на счетное число подмножеств, каждое из которых получается из другого сдвигом. Тогда если эти множества измеримы или неизмеримы одновременно, и в первом случае их меры равны. Тогда, ескли их меры равны $0$ то мера $[0,1)$ будет $0$, а если меры $\mu>0$ то мера $[0,1)$ будет $\infty$ (и это противоречие доказывает неизмеримость. Ясно, что ни одно из них не содержит подмножества положительной меры.

2) Пусть $A$ ограничено и неизмеримо, но у него есть подмножества положительной меры. Пусть $\mu$ супремум меры таких подмножеств. Тогда либо существует $B\subset A$ с $\mathsf{mes}(B)=\mu$, либо существуют $B_n\subset A$ т.ч. $\mathsf{mes}(B_n)\to \mu$. Пусть во втором случае $B=\bigcup B_n$. Тогда $B$ измеримо и $\mathsf{mes}(B)=\mu$. Ясно, что $A \setminus B$ искомое множество

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group