2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:49 


09/11/12
206
Донецк
В первом пункте импликацию <<ясно...>> я попросил бы Вас пояснить - по моему, не так уж очевидно, что нет таких измеримых подмножеств. Со вторым пунктом всё ясно, вроде бы

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Evgenii2012 в сообщении #1029454 писал(а):
Почему непересекающихся подмножеств положительной меры не более, чем счётно ?

Но ведь нам ничего не стоит заданное множество ещё и обрезать каким-то кубом конечной меры. От этого его неизмеримость не испортится :D

Впрочем, Red_Herring уже сказал намного аккуратнее как раз то, что я пытался.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10997
Hogtown
Evgenii2012 в сообщении #1029460 писал(а):
В первом пункте импликацию <<ясно...>> я попросил бы Вас пояснить

Если бы такое множество было, то было бы счетное число множеств получающихся из него сдвигом (т.е. той же меры) и попарно непересекающихся, а тогда бы мера их объединения (лежащего в $[0,1)$) была бы бесконечной

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 23:00 


09/11/12
206
Донецк
Даже если Вы <<обрежете>> кубом, всё равно не вполне ясно, почему внутри него измеримых непересекающихся множеств положительной меры не более, чем счётно (если Вы это имели в виду). Ваша идея мне как раз нравится, правда, со счётностью таких множеств кое-какие сомнения возникают.

-- 21.06.2015, 22:13 --

Всем большое спасибо за обсуждение, в принципе ответ ясен - неизмеримое множество вполне может не содержать измеримых множеств положительной меры

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Evgenii2012 в сообщении #1029465 писал(а):
Ваша идея мне как раз нравится

У меня наоборот -- как только я увидел п.2 у Red_Herring, моя идея мне нравиться совсем перестала. Предлагаю её оставить.

-- 21.06.2015, 23:49 --

Всё же оставлю для истории ответ на вопрос:
Evgenii2012 в сообщении #1029465 писал(а):
почему внутри него измеримых непересекающихся множеств положительной меры не более, чем счётно

Поскольку мера куба конечна, то для каждого заданного $\varepsilon >0 $ количество попарно непересекающихся множеств, имеющих меру большую $\varepsilon $, будет конечное число. Беря последовательно $\varepsilon =1/n$, мы выберем все подмножества положительной меры. Это будет счётное объединение конечного числа множеств и, значит, оно будет не более чем счётно.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение21.06.2015, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8038
Evgenii2012
Лирическое замечание. У меня, после моих безуспешных попыток свести к какой-то обозримой структуре хотя бы борелевскую сигма-алгебру, которая уже, чем лебеговская (некоторые попытки можно видеть здесь: http://dxdy.ru/topic94990.html), сложилось впечатление, что в этой сфере возможно все, невозможность чего не удается доказать сразу.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизмеримые множества по Лебегу
Сообщение22.09.2019, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Интересует близкая задача, но более сложная.

Возможно ли разбить множество положительной меры Лебега (пусть будет отрезок прямой)
на два неизмеримых подмножества так, чтобы каждое из них не содержало измеримого подмножества положительной меры?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group