Расслоеные многообразия

[Sicker]

Рассмотрим сферу, и построим в каждой точке касательное пространство к ней.
Как теперь сделать переходы от каждой точки какого-то слоя к другому?
Те я понимаю что это можно сделать уймой способов, но какой самый естественный?
Пусть у нас имеется риманова метрика(положительная)

[Someone]

Перенос определяется связностью.

[svv]

А при наличии римановой метрики естественной можно назвать ту связность, которая согласована с метрикой.

[Sicker]

Ничего не понял.
Метрика у нас на всем расслоении не дана, нас известна только метрика на шаре и на каждом слое

[VanD]

При помощи римановой метрики на сфере строится риманова связность на сфере. Она позволяет параллельно переносить касательный вектор из точки в другую точку, после того как выбрана регулярная кривая, эти точки соединяющая (на сфере). То есть метрика на сфере позволяет переносить элементы слоёв касательного расслоения (через связность), раз уж речь о нём.

[Sicker]

VanD в сообщении #1026154 писал(а):

лельно переносить касательный вектор из точки в другую точку, после того как выбрана регулярная кривая, эти точки соединяющая (на сфере). То есть метрика на сфере позволяет переносить элементы слоёв касательного расслоения (через связность)

Только локально, но мы же касательный слой продолжаем до плоскости, те это плоскость выходит за сферу

[VanD]

Sicker в сообщении #1026176 писал(а):

Только локально, но мы же касательный слой продолжаем до плоскости, те это плоскость выходит за сферу

Если я правильно Вас понял, Вы полагаете, что параллельному переносу принципиально, чтобы касательный вектор в начальной точке, который переносят, был достаточно близок к нулевому? Но в фиксированной системе координат параллельный перенос вдоль кривой осуществляется через решение задачи Коши для гладкой линейной системы ОДУ, которой всё равно, какие начальные данные (в том смысле, что перенести удастся любой касательный вектор в начальной точке).

А про плоскость, выходящую за сферу - это Вы уже что-то про образ вложения $TS^2 $ видимо, но параллельный перенос не нуждается во вложении куда-либо. На сфере любую регулярную кривую вообще можно рассматривать в одной системе координат, так что тут даже не придётся касательный вектор последовательно переносить в другие точки кривой, чтобы добраться до её конца.

[Sicker]

VanD в сообщении #1026194 писал(а):

А про плоскость, выходящую за сферу -- это Вы уже что-то про образ вложения видимо, но параллельный пер

Я имел ввиду касательное расслоение

[Vince Diesel]

Вы хотите ввести метрику на всем расслоении что ли?

[Kirill_Sal]

Sicker
Снова Вы на википедию ссылаетесь, кошмар. И как всегда ни формул, ни определений.
Vince Diesel
Если я правильно понял, то Sicker попросту говоря рассматривает две касательные плоскости к сфере: $T_{x}S^2$ в точке $x$ и $T_{y}S^2$ в точке $y$ и спрашивает, как от произвольной точки $T_{x}S^2$ к произвольной точке $T_{y}S^2$.
IMHO, что-то из разряда философии.

[Sicker]

Kirill_Sal
Да, вы меня правильно поняли.
Википедия, не к греху в суе будет помянута, говорит что должно быть нетривиально

[Kirill_Sal]

Sicker
Надо не Викимусорку читать потому что, а нормальные книги.
Ваш вопрос к римановой геометрии вообще никакого отношения не имеет. И умные слова "расслоения", "слои" Вам рано использовать IMHO.
Начните с простой аналитической геометрии (1-й курс). Могу дать подсказку: рассмотрим сферу $S^2$ в евклидовом пространстве и две точки $x,y\in S^2$. Проведем две касательные плоскости $T_{x}S^2$ и $T_{y}S^2$ и отметим на них точки $x_{1}$ и $y_{1}$. "Прийти" из $x_{1}$ в $y_{1}$ можно вполне естественно в 3 действия, из которых 2 по своей сути одинаковы.
О рез-тах расскажете в ответе. И без общих слов и размахиваний руками, напишите конкретные формулы.

(Оффтоп)

И вообще, научитесь наконец-то корректно формулировать свои мысли, - столько математиков озадачили таким пустяком.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1026203 писал(а):

Если я правильно понял, то Sicker попросту говоря рассматривает две касательные плоскости к сфере: $T_{x}S^2$ в точке $x$ и $T_{y}S^2$ в точке $y$ и спрашивает, как от произвольной точки $T_{x}S^2$ к произвольной точке $T_{y}S^2$.

Ответ: вообще никак. Так ему и передайте.

[Kirill_Sal]

Munin
Я переформулировал свой вопрос. Теперь стало понятнее, но и Sicker ответ легко угадает.
На самом деле можно написать что-то в общем виде, только зачем? Касательные пространства не для того вводят в математике, чтобы такой ерундой заниматься.

(Оффтоп)

И правильно писать "расслоеННые", Sicker

[Sicker]

Vince Diesel в сообщении #1026202 писал(а):

Вы хотите ввести метрику на всем расслоении что ли?

Да

Sicker в сообщении #1026210 писал(а):

Ваш вопрос к римановой геометрии вообще никакого отношения не имеет. И умные слова "расслоения", "слои" Вам рано использовать IMHO.
Начните с простой аналитической геометрии (1-й курс).

Давайте еще с учебника Атанасяна

Kirill_Sal в сообщении #1026216 писал(а):

Ваш вопрос к римановой геометрии вообще никакого отношения не имеет. И умные слова "расслоения", "слои" Вам рано использовать IMHO.
Начните с простой аналитической геометрии (1-й курс). Могу дать подсказку: рассмотрим сферу $S^2$ в евклидовом пространстве и две точки $x,y\in S^2$. Проведем две касательные плоскости $T_{x}S^2$ и $T_{y}S^2$ и отметим на них точки $x_{1}$ и $y_{1}$. "Прийти" из $x_{1}$ в $y_{1}$ можно вполне естественно в 3 действия, из которых 2 по своей сути одинаковы.

Ну, сначала от точки в плоскости $x$ прийти к точке пересечения этой плоскости со сферой, потом к точке пересечения плоскости $y$ со сферой, а потом к нашей второй точке в этой плоскости

Munin в сообщении #1026224 писал(а):

Ответ: вообще никак. Так ему и передайте.

Я в принципе так и думал, спасибо
Мы же можем ввести естественное соответствие, если бы касательное пространство было прямой, тогда точки, имеющие одинаковое расстояние до пересечения, лежали как бы в одном сечении. А вот если плоскость, то там появляется еще и угол, и вот естественно ссотнести углы мне уже не представляется возможным

Kirill_Sal в сообщении #1026225 писал(а):

На самом деле можно написать что-то в общем виде, только зачем? Касательные пространства не для того вводят в математике, чтобы такой ерундой заниматься.

А для чего тогда?