Количество тепла, полученное при нагревании

[oode45]

Моль одноатомного идеального газа нагревается обратимо от $T_1=300 K$ до $T_2=400 K$. В процессе нагревания газа его давление изменяется с температурой по закону $P=P_0 e^{\alpha T}$ , где $\alpha=10^{-3}=const$ . Определить количество тепла, полученное газом при нагревании.

Собственно - это явно изохора, и работа равна нулю, соответственно, то количество подведенного тепла просто определится изменением внутренней энергии? а зачем тогда закон изменения давления?

[Atom001]

Почему изохора? Если изохора, то должно выполняться $\frac{P_2}{T_2}=\frac{P_1}{T_1}$. При данных числах это не выполняется.

-- 10.06.2015, 02:02 --

$\frac{P_0e^{\alpha T_2}}{T_2}=\frac{P_0e^{\alpha T_1}}{T_1}$

$e^{\alpha(T_2-T_1)}=\frac{T_2}{T_1}$

$e^{\frac{1}{10}}=\frac{4}{3}$?

[oode45]

м... если меняется давление, температура, не изохора, про теплообмен не говорится, то что?

[Atom001]

whiterussian:

Удалено

Строгое замечание за публикацию решения учебной задачи.

-- 10.06.2015, 02:44 --

oode45 в сообщении #1025409 писал(а):

то что?

Начните с поиска работы в данном процессе.

[oode45]

Atom001
хм... это понятно.
$dQ=dU+dA$
и работа определится интегралом по объему. а начальный и конечный объемы неизвестны.

[Atom001]

Из зависимости давления можно найти $\frac{P_2}{P_1}$. А уже через отношение давлений, можно будет найти отношение объёмов. Зная отношение объёмов и изменение внутренней энергии, можно выразить оба объёма через $P_0$. Только как вот составить подынтегральное выражение я понять не могу.

[DimaM]

Можно попробовать так: $dA=PdV=P\left(\dfrac{dV}{dT}\right)dT$. Далее из уравнения состояния выражаем $V(P,T)$, находим производную и интегрируем. Вроде, получается достаточно просто.

[oode45]

DimaM
$dA=R(\frac{RT}{P})'dT$
$dA=(\frac{R^2}{P})dT$
$\int dA=R^2 \int_{300}^{400}\frac{1}{P}dT$
$P=P_0 e^{\alpha T}$
$\int dA=R^2 \int_{300}^{400}\frac{1}{P_0 e^{\alpha T}}dT$
$A=\frac{R^2}{P_0}100 e^{-\alpha T}$

по идее так?) только остается начальное давление и температура)

[Octagon]

oode45 в сообщении #1026099 писал(а):

$dA=R(\frac{RT}{P})'dT$
$dA=(\frac{R^2}{P})dT$

Это халтура, потому что дифференциировать надо честно: $(\frac{RT}{P})'=(\frac{RT}{P_0e^{\alpha T}})'=...$
И тогда, возможно (если я сам не налажал), получится что-то вроде такого: $Q=\frac{5}{2}R(T_2-T_1) + \frac{R}{\alpha}\ln{p_0}\ln{e^{\alpha(T_2-T_1)}} - \frac{R}{2\alpha}{\ln}^2{e^{\alpha(T_2-T_1)}}=...$

И вы еще неправильно давление выразили, да.

[oode45]

Octagon
почему неправильно? мы же дифференцируем по температуре, значит выражаем объем:
$V=\frac{RT}{P}$

[DimaM]

oode45 в сообщении #1026099 писал(а):

$dA=R(\frac{RT}{P})'dT$
$dA=(\frac{R^2}{P})dT$

Давление забыли продифференцировать. И снаружи не $R$, а $P$.

-- 12.06.2015, 11:30 --

Octagon в сообщении #1026208 писал(а):

И тогда, возможно (если я сам не налажал), получится что-то вроде такого: $Q=\frac{5}{2}R(T_2-T_1) + \frac{R}{\alpha}\ln{p_0}\ln{e^{\alpha(T_2-T_1)}} - \frac{R}{2\alpha}{\ln}^2{e^{\alpha(T_2-T_1)}}=...$

Налажали, похоже. У меня все гораздо проще получается.

[Octagon]

DimaM в сообщении #1026263 писал(а):

Налажали, похоже. У меня все гораздо проще получается.

Ну, я-то считал через $PdV=d(PV)-VdP$, что несколько проще. Впрочем, я недостаточно квалифицирован, чтобы спорить с ЗУ.

[DimaM]

Octagon в сообщении #1026296 писал(а):

Ну, я-то считал через $PdV=d(PV)-VdP$, что несколько проще.

Если подставить $V$ из уравнения состояния и записать $dP=\dfrac{dP}{dT}dT$, получается то же самое, что и у меня.

[pppppppo_98]

Octagon в сообщении #1026296 писал(а):

DimaM в сообщении #1026263 писал(а):

Налажали, похоже. У меня все гораздо проще получается.

Ну, я-то считал через $PdV=d(PV)-VdP$, что несколько проще. Впрочем, я недостаточно квалифицирован, чтобы спорить с ЗУ.

да так явно проще
тогда $\delta A =PdV=d(PV)-VdP=R dT -\frac{RT}{P}dP=R dT - RT d\ln P=RdT - RT \alpha dT$

и не забыть $dU=C_V dT$

как-то так