2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение09.06.2015, 20:38 


29/05/15
17
Моль одноатомного идеального газа нагревается обратимо от $T_1=300 K$ до $T_2=400 K$. В процессе нагревания газа его давление изменяется с температурой по закону $P=P_0 e^{\alpha T}$ , где $\alpha=10^{-3}=const$ . Определить количество тепла, полученное газом при нагревании.

Собственно - это явно изохора, и работа равна нулю, соответственно, то количество подведенного тепла просто определится изменением внутренней энергии? а зачем тогда закон изменения давления?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение09.06.2015, 20:59 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Почему изохора? Если изохора, то должно выполняться $\frac{P_2}{T_2}=\frac{P_1}{T_1}$. При данных числах это не выполняется.

-- 10.06.2015, 02:02 --

$\frac{P_0e^{\alpha T_2}}{T_2}=\frac{P_0e^{\alpha T_1}}{T_1}$

$e^{\alpha(T_2-T_1)}=\frac{T_2}{T_1}$

$e^{\frac{1}{10}}=\frac{4}{3}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение09.06.2015, 21:08 


29/05/15
17
м... если меняется давление, температура, не изохора, про теплообмен не говорится, то что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение09.06.2015, 21:33 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
 !  whiterussian:
Удалено

Строгое замечание за публикацию решения учебной задачи.



-- 10.06.2015, 02:44 --

oode45 в сообщении #1025409 писал(а):
то что?

Начните с поиска работы в данном процессе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение10.06.2015, 06:39 


29/05/15
17
Atom001
хм... это понятно.
$dQ=dU+dA$
и работа определится интегралом по объему. а начальный и конечный объемы неизвестны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение10.06.2015, 07:16 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Из зависимости давления можно найти $\frac{P_2}{P_1}$. А уже через отношение давлений, можно будет найти отношение объёмов. Зная отношение объёмов и изменение внутренней энергии, можно выразить оба объёма через $P_0$. Только как вот составить подынтегральное выражение я понять не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение10.06.2015, 10:01 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
Можно попробовать так: $dA=PdV=P\left(\dfrac{dV}{dT}\right)dT$. Далее из уравнения состояния выражаем $V(P,T)$, находим производную и интегрируем. Вроде, получается достаточно просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение11.06.2015, 17:27 


29/05/15
17
DimaM
$dA=R(\frac{RT}{P})'dT$
$dA=(\frac{R^2}{P})dT$
$\int dA=R^2 \int_{300}^{400}\frac{1}{P}dT$
$P=P_0 e^{\alpha T}$
$\int dA=R^2 \int_{300}^{400}\frac{1}{P_0 e^{\alpha T}}dT$
$A=\frac{R^2}{P_0}100 e^{-\alpha T}$

по идее так?) только остается начальное давление и температура)

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение11.06.2015, 22:38 
Аватара пользователя


31/05/15
20
oode45 в сообщении #1026099 писал(а):
$dA=R(\frac{RT}{P})'dT$
$dA=(\frac{R^2}{P})dT$


Это халтура, потому что дифференциировать надо честно: $(\frac{RT}{P})'=(\frac{RT}{P_0e^{\alpha T}})'=...$
И тогда, возможно (если я сам не налажал), получится что-то вроде такого: $Q=\frac{5}{2}R(T_2-T_1) + \frac{R}{\alpha}\ln{p_0}\ln{e^{\alpha(T_2-T_1)}} - \frac{R}{2\alpha}{\ln}^2{e^{\alpha(T_2-T_1)}}=...$

И вы еще неправильно давление выразили, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение12.06.2015, 06:27 


29/05/15
17
Octagon
почему неправильно? мы же дифференцируем по температуре, значит выражаем объем:
$V=\frac{RT}{P}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение12.06.2015, 08:30 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
oode45 в сообщении #1026099 писал(а):
$dA=R(\frac{RT}{P})'dT$
$dA=(\frac{R^2}{P})dT$

Давление забыли продифференцировать. И снаружи не $R$, а $P$.

-- 12.06.2015, 11:30 --

Octagon в сообщении #1026208 писал(а):
И тогда, возможно (если я сам не налажал), получится что-то вроде такого: $Q=\frac{5}{2}R(T_2-T_1) + \frac{R}{\alpha}\ln{p_0}\ln{e^{\alpha(T_2-T_1)}} - \frac{R}{2\alpha}{\ln}^2{e^{\alpha(T_2-T_1)}}=...$

Налажали, похоже. У меня все гораздо проще получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение12.06.2015, 11:09 
Аватара пользователя


31/05/15
20
DimaM в сообщении #1026263 писал(а):
Налажали, похоже. У меня все гораздо проще получается.


Ну, я-то считал через $PdV=d(PV)-VdP$, что несколько проще. Впрочем, я недостаточно квалифицирован, чтобы спорить с ЗУ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение12.06.2015, 11:37 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
Octagon в сообщении #1026296 писал(а):
Ну, я-то считал через $PdV=d(PV)-VdP$, что несколько проще.

Если подставить $V$ из уравнения состояния и записать $dP=\dfrac{dP}{dT}dT$, получается то же самое, что и у меня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество тепла, полученное при нагревании
Сообщение14.06.2015, 18:11 


29/01/09
428
Octagon в сообщении #1026296 писал(а):
DimaM в сообщении #1026263 писал(а):
Налажали, похоже. У меня все гораздо проще получается.


Ну, я-то считал через $PdV=d(PV)-VdP$, что несколько проще. Впрочем, я недостаточно квалифицирован, чтобы спорить с ЗУ.



да так явно проще
тогда $\delta A =PdV=d(PV)-VdP=R dT -\frac{RT}{P}dP=R dT - RT d\ln P=RdT - RT \alpha dT$

и не забыть $dU=C_V dT$

как-то так

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group