Исследовать ряд на сходимость

[fronnya]

Есть ряд, который нужно исследовать на сходимость

$$\sum\limits_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$$

Я вижу только такой выход, нужно найти такой ряд, члены которого больше и он сходится, либо такой ряд, члены которого меньше и он расходится, вот как тут оценить члены этого ряда снизу или сверху, не знаю, знаю точно, что при $n\to\infty$ логарифм растет медленнее любой степени, пусть, например, $\ln n < n^k$, тогда

$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n^{k\ln n}}$$

тогда если положить $k=\frac{1}{\ln n}$, то получится

$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$

и тогда исходный ряд расходится. Мои рассуждения верны?

[Otta]

fronnya в сообщении #1024576 писал(а):

логарифм растет медленнее любой ...

фиксированной степени. А она у Вас от $n$ зависит.

[demolishka]

А признаки какие-нибудь знаете? Например интегральный.

[fronnya]

Otta в сообщении #1024577 писал(а):

fronnya в сообщении #1024576 писал(а):

логарифм растет медленнее любой ...

фиксированной степени. А она у Вас от $n$ зависит.

Но ведь

$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$

выполняется $\forall n\geq 2$

-- 07.06.2015, 20:12 --

demolishka в сообщении #1024584 писал(а):

А признаки какие-нибудь знаете? Например интегральный.

Т.е. если сходится (расходится) $\int\limits_2^{+\infty} \frac{1}{(\ln x)^\ln x} dx$, то и ряд тоже сходится(расходится)?

[demolishka]

fronnya в сообщении #1024585 писал(а):

Но ведь

$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$

выполняется $\forall n\geq 2$

Особенно оно выполняется для $n=e^k$.

[fronnya]

demolishka в сообщении #1024588 писал(а):

fronnya в сообщении #1024585 писал(а):

Но ведь

$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$

выполняется $\forall n\geq 2$

Особенно оно выполняется для $n=e^k$.

$n$ принадлежит множеству натуральных чисел

[Ms-dos4]

fronnya
Какая разница, это ничего не меняет (рядом всегда можно найти и натуральное). Но уж если хотите, то например $\[{(\frac{1}{{\ln 100}})^{\ln 100}} \approx 0,00088 < 0,01\]$

[ewert]

fronnya в сообщении #1024591 писал(а):

$n$ принадлежит множеству натуральных чисел

Это непринципиально. А вот совет воспользоваться интегральным признаком был правильным.

Неравенство Ваше было верным, естественно, с точностью до наоборот.

[fronnya]

ewert в сообщении #1024593 писал(а):

fronnya в сообщении #1024591 писал(а):

$n$ принадлежит множеству натуральных чисел

Это непринципиально. А вот совет воспользоваться интегральным признаком был правильным.

Неравенство Ваше было верным, естественно, с точностью до наоборот.

Т.е. рассмотреть интеграл

$$\int\limits_2^{+\infty} \frac{ dx}{(\ln x)^\ln x}$$

?
А вы мое неравенство проверьте для $n=2$, например

[ewert]

fronnya в сообщении #1024596 писал(а):

А вы мое неравенство проверьте для $n=2$, например

Предложение бессмысленно -- мало ли что будет при двух; важно, что будет на бесконечности.

В подобных случаях первое, что должно приходить в голову -- это прологарифмировать знаменатель, а потом вернуться назад, предварительно переставив логарифмы; тогда всё станет ясно.

[fronnya]

А если так сделать:

$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}=\frac{1}{(e^{\ln{\ln n}})^{\ln{n}}}}=\frac{1}{(e^{\ln{n}})^{\ln{\ln n}}}}=\frac{1}{n^{\ln\ln{n}}}$$

должно теперь стать проще? Мне что-то пока не очевидно.

[ewert]

fronnya в сообщении #1024603 писал(а):

должно теперь стать проще? Мне что-то пока не очевидно.

Что значит неочевидно. Показатель теперь-то -- как себя ведёт?...

[fronnya]

ewert в сообщении #1024604 писал(а):

fronnya в сообщении #1024603 писал(а):

должно теперь стать проще? Мне что-то пока не очевидно.

Что значит неочевидно. Показатель теперь-то -- как себя ведёт?...

Возрастает

[Otta]

Это хорошо, но мало. $1-1/n$ тоже возрастает.

[Brukvalub]

А почему никто не предлагает просто применить логарифмический признак?