2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 20:54 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Есть ряд, который нужно исследовать на сходимость
$$\sum\limits_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$$
Я вижу только такой выход, нужно найти такой ряд, члены которого больше и он сходится, либо такой ряд, члены которого меньше и он расходится, вот как тут оценить члены этого ряда снизу или сверху, не знаю, знаю точно, что при $n\to\infty$ логарифм растет медленнее любой степени, пусть, например, $\ln n < n^k$, тогда $$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n^{k\ln n}}$$
тогда если положить $k=\frac{1}{\ln n}$, то получится
$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$ и тогда исходный ряд расходится. Мои рассуждения верны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 20:58 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
fronnya в сообщении #1024576 писал(а):
логарифм растет медленнее любой ...

фиксированной степени. А она у Вас от $n$ зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
А признаки какие-нибудь знаете? Например интегральный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:10 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Otta в сообщении #1024577 писал(а):
fronnya в сообщении #1024576 писал(а):
логарифм растет медленнее любой ...

фиксированной степени. А она у Вас от $n$ зависит.

Но ведь $$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$ выполняется $\forall n\geq 2$

-- 07.06.2015, 20:12 --

demolishka в сообщении #1024584 писал(а):
А признаки какие-нибудь знаете? Например интегральный.

Т.е. если сходится (расходится) $\int\limits_2^{+\infty} \frac{1}{(\ln x)^\ln x} dx$, то и ряд тоже сходится(расходится)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
fronnya в сообщении #1024585 писал(а):
Но ведь $$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$ выполняется $\forall n\geq 2$

Особенно оно выполняется для $n=e^k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:18 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
demolishka в сообщении #1024588 писал(а):
fronnya в сообщении #1024585 писал(а):
Но ведь $$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}>\frac{1}{n}$$ выполняется $\forall n\geq 2$

Особенно оно выполняется для $n=e^k$.

$n$ принадлежит множеству натуральных чисел

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:19 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
fronnya
Какая разница, это ничего не меняет (рядом всегда можно найти и натуральное). Но уж если хотите, то например $\[{(\frac{1}{{\ln 100}})^{\ln 100}} \approx 0,00088 < 0,01\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
fronnya в сообщении #1024591 писал(а):
$n$ принадлежит множеству натуральных чисел

Это непринципиально. А вот совет воспользоваться интегральным признаком был правильным.

Неравенство Ваше было верным, естественно, с точностью до наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:28 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
ewert в сообщении #1024593 писал(а):
fronnya в сообщении #1024591 писал(а):
$n$ принадлежит множеству натуральных чисел

Это непринципиально. А вот совет воспользоваться интегральным признаком был правильным.

Неравенство Ваше было верным, естественно, с точностью до наоборот.


Т.е. рассмотреть интеграл
$$\int\limits_2^{+\infty} \frac{ dx}{(\ln x)^\ln x}$$ ?
А вы мое неравенство проверьте для $n=2$, например

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 21:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
fronnya в сообщении #1024596 писал(а):
А вы мое неравенство проверьте для $n=2$, например

Предложение бессмысленно -- мало ли что будет при двух; важно, что будет на бесконечности.

В подобных случаях первое, что должно приходить в голову -- это прологарифмировать знаменатель, а потом вернуться назад, предварительно переставив логарифмы; тогда всё станет ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 22:00 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
А если так сделать: $$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}=\frac{1}{(e^{\ln{\ln n}})^{\ln{n}}}}=\frac{1}{(e^{\ln{n}})^{\ln{\ln n}}}}=\frac{1}{n^{\ln\ln{n}}}$$ должно теперь стать проще? Мне что-то пока не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение07.06.2015, 22:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
fronnya в сообщении #1024603 писал(а):
должно теперь стать проще? Мне что-то пока не очевидно.

Что значит неочевидно. Показатель теперь-то -- как себя ведёт?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение08.06.2015, 01:19 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
ewert в сообщении #1024604 писал(а):
fronnya в сообщении #1024603 писал(а):
должно теперь стать проще? Мне что-то пока не очевидно.

Что значит неочевидно. Показатель теперь-то -- как себя ведёт?...

Возрастает

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение08.06.2015, 01:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Это хорошо, но мало. $1-1/n$ тоже возрастает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать ряд на сходимость
Сообщение08.06.2015, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
А почему никто не предлагает просто применить логарифмический признак? :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group