Критерий наличия кратных СЗ

[armez]

Интересует критерий наличия кратных СЗ у симметрической матрицы 3х3.
Понятно, что можно составить характеристическое уравнение и записать
условие равенства нулю дискриминанта кубического уравнения.
Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?

[unistudent]

Могу предложить вот такой наверняка не самый элегантный метод.
Случай когда кратность равна 3 можно исключить как наипростейший. Т.е. надо проверить есть ли СЗ с кратностью 2. Очевидно, матрицу можно привести к виду

$$\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & a \end{matrix}$$

где $A$ блок $2 \times 2$. Если $A$ не диагональна, то кратных СЗ нет.

[2old]

unistudent
$A$ всегда диагональна

[ewert]

unistudent в сообщении #1023299 писал(а):

Очевидно, матрицу можно привести к виду

$$\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & a \end{matrix}$$

где $A$ блок $2 \times 2$.

Грубо говоря, нельзя: это означает, что одно собственное число Вы уже нашли. Что вычислительно сложнее, чем вопрос о существовании или нет кратных собственных чисел.

[Brukvalub]

unistudent в сообщении #1023299 писал(а):

Если $A$ не диагональна, то кратных СЗ нет.

Одной из основных теорем л.а. является след. теорема: каждая симметрическая матрица подобна диагональной, поскольку симметрические матрицы отвечают самосопряженным операторам в Евклидовом пространстве, а канонический вид матриц таких операторов - диагональный.

[armez]

unistudent в сообщении #1023299 писал(а):

Могу предложить вот такой наверняка не самый элегантный метод.
Случай когда кратность равна 3 можно исключить как наипростейший. Т.е. надо проверить есть ли СЗ с кратностью 2. Очевидно, матрицу можно привести к виду

$$\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & a \end{matrix}$$

где $A$ блок $2 \times 2$. Если $A$ не диагональна, то кратных СЗ нет.

Вы имели в виду "кратна единичной"? В таком случае тоже нет гарантии, что нет кратных СЗ, т.к. одно из СЗ блока А может совпаcть с а.

2old в сообщении #1023301 писал(а):

unistudent
$A$ всегда диагональна

Строго говоря, не всегда. Она обязательно будет диагональной при некотором таком преборазовании, но не при любом.

[Munin]

armez в сообщении #1023288 писал(а):

Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?

Исследование собственных значений и собственных векторов всегда является трудной задачей. Вы никакого особенно упрощающего случая пока не предложили.

[Oleg Zubelevich]

ну для кубического многочлена написать критерий существования кратного корня это уж не оочень перетрудимшись можно сделать. Продифференцировали кубический многочлен , получили квадратный дальше сами догадайтесь

[ewert]

Munin в сообщении #1023387 писал(а):

Исследование собственных значений и собственных векторов всегда является трудной задачей.

Не всегда: наличие кратных собственных чисел проверяется просто.

-- Чт июн 04, 2015 20:08:47 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1023390 писал(а):

ну для кубического многочлена написать критерий существования кратного корня это уж не оочень перетрудимшись можно сделать.

Почему только для кубического? Технические затруднения связаны вовсе не со степенью, а с выписыванием самого характеристического многочлена.

[armez]

Oleg Zubelevich в сообщении #1023390 писал(а):

ну для кубического многочлена написать критерий существования кратного корня это уж не оочень перетрудимшись можно сделать. Продифференцировали кубический многочлен , получили квадратный дальше сами догадайтесь

Догадываюсь. Алгоритм Эвклида, результант, дискриминант. А теперь Вы догадайтесь: в чём был смысл вопроса? Подсказка: прочитайте первый пост.

-- 04.06.2015, 18:53 --

Munin в сообщении #1023387 писал(а):

armez в сообщении #1023288 писал(а):

Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?

... Вы никакого особенно упрощающего случая пока не предложили.

Предложил. Симметрическая матрица 3-го порядка с действительными элементами.

-- 04.06.2015, 19:29 --

Можно даже считать, с нулевым следом.

[unistudent]

Brukvalub в сообщении #1023306 писал(а):

Одной из основных теорем л.а. является след. теорема: каждая симметрическая матрица подобна диагональной, поскольку симметрические матрицы отвечают самосопряженным операторам в Евклидовом пространстве, а канонический вид матриц таких операторов - диагональный.

Спасибо. Но я не понял, почему вы это написали в ответ на мое "если А не диагонально то кратных СЗ нет". Поясните, пожалуйста.
Сам я, когда писал, рассуждал так: пусть $B$-исходная матрица. Есть ортогональная матрица $C$ такая, что матрица $C^{-1}BC$ является матрицей вида

$$\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & a\end{matrix}$$

где $A$ - блок $2\times2$. Тогда $a$ одно из СЗ. Если другие два значения кратные, то $A$ обязательно диагональная. Понятно, что этот подход никакой. Написал это скорее потому, что стало любопытно, есть ли критерий. Судя по постам ewert, критерий имеется.

[Brukvalub]

unistudent в сообщении #1023533 писал(а):

Спасибо. Но я не понял, почему вы это написали в ответ на мое "если А не диагонально то кратных СЗ нет". Поясните, пожалуйста.

Я написал это, чтобы разъяснить вам вашу ошибку.

[g______d]

armez в сообщении #1023288 писал(а):

Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?

ewert в сообщении #1023391 писал(а):

Почему только для кубического? Технические затруднения связаны вовсе не со степенью, а с выписыванием самого характеристического многочлена.

Можно вспомнить такую штуку:

$$ \frac{d}{d\lambda}\det A(\lambda)=\sum\limits_{i,j=1}^n \left(\frac{d}{d\lambda} a_{ij}(\lambda)\right)\hat{A}_{ij} (\lambda), $$

где $\hat{A}_{ij}(\lambda)$ -- алгебраическое дополнение. В данном случае получится сумма трёх определителей $2\times 2$, каждый умноженный на $-1$.

[ewert]

А толку-то? Сам характеристический многочлен всё равно понадобится; так проще именно его и продифференцировать.

[g______d]

ewert в сообщении #1023557 писал(а):

Сам характеристический многочлен всё равно понадобится

Можно найти корни производной, а потом найти ранг матрицы $A-\lambda I$ для каждого корня (методом Гаусса). Правда, не похоже, чтобы это было вычислительно проще.

-- Пт, 05 июн 2015 00:09:35 --

К тому же, действительно, зная характеристический полином и его производную, можно просто вычислить их НОД по алгоритму Евклида.