2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 15:40 


09/06/12
137
Интересует критерий наличия кратных СЗ у симметрической матрицы 3х3.
Понятно, что можно составить характеристическое уравнение и записать
условие равенства нулю дискриминанта кубического уравнения.
Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 16:33 


06/12/14
510
Могу предложить вот такой наверняка не самый элегантный метод.
Случай когда кратность равна 3 можно исключить как наипростейший. Т.е. надо проверить есть ли СЗ с кратностью 2. Очевидно, матрицу можно привести к виду $$\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & a \end{matrix}$$ где $A$ блок $2 \times 2$. Если $A$ не диагональна, то кратных СЗ нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 16:37 


07/04/15
244
unistudent
$A$ всегда диагональна

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 16:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
unistudent в сообщении #1023299 писал(а):
Очевидно, матрицу можно привести к виду $$\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & a \end{matrix}$$ где $A$ блок $2 \times 2$.

Грубо говоря, нельзя: это означает, что одно собственное число Вы уже нашли. Что вычислительно сложнее, чем вопрос о существовании или нет кратных собственных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
unistudent в сообщении #1023299 писал(а):
Если $A$ не диагональна, то кратных СЗ нет.
Одной из основных теорем л.а. является след. теорема: каждая симметрическая матрица подобна диагональной, поскольку симметрические матрицы отвечают самосопряженным операторам в Евклидовом пространстве, а канонический вид матриц таких операторов - диагональный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 17:54 


09/06/12
137
unistudent в сообщении #1023299 писал(а):
Могу предложить вот такой наверняка не самый элегантный метод.
Случай когда кратность равна 3 можно исключить как наипростейший. Т.е. надо проверить есть ли СЗ с кратностью 2. Очевидно, матрицу можно привести к виду $$\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & a \end{matrix}$$ где $A$ блок $2 \times 2$. Если $A$ не диагональна, то кратных СЗ нет.
Вы имели в виду "кратна единичной"? В таком случае тоже нет гарантии, что нет кратных СЗ, т.к. одно из СЗ блока А может совпаcть с а.

2old в сообщении #1023301 писал(а):
unistudent
$A$ всегда диагональна
Строго говоря, не всегда. Она обязательно будет диагональной при некотором таком преборазовании, но не при любом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
armez в сообщении #1023288 писал(а):
Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?

Исследование собственных значений и собственных векторов всегда является трудной задачей. Вы никакого особенно упрощающего случая пока не предложили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 19:06 


10/02/11
6786
ну для кубического многочлена написать критерий существования кратного корня это уж не оочень перетрудимшись можно сделать. Продифференцировали кубический многочлен , получили квадратный дальше сами догадайтесь :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 19:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Munin в сообщении #1023387 писал(а):
Исследование собственных значений и собственных векторов всегда является трудной задачей.

Не всегда: наличие кратных собственных чисел проверяется просто.

-- Чт июн 04, 2015 20:08:47 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1023390 писал(а):
ну для кубического многочлена написать критерий существования кратного корня это уж не оочень перетрудимшись можно сделать.

Почему только для кубического? Технические затруднения связаны вовсе не со степенью, а с выписыванием самого характеристического многочлена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение04.06.2015, 19:51 


09/06/12
137
Oleg Zubelevich в сообщении #1023390 писал(а):
ну для кубического многочлена написать критерий существования кратного корня это уж не оочень перетрудимшись можно сделать. Продифференцировали кубический многочлен , получили квадратный дальше сами догадайтесь :D
Догадываюсь. Алгоритм Эвклида, результант, дискриминант. А теперь Вы догадайтесь: в чём был смысл вопроса? Подсказка: прочитайте первый пост.

-- 04.06.2015, 18:53 --

Munin в сообщении #1023387 писал(а):
armez в сообщении #1023288 писал(а):
Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?
... Вы никакого особенно упрощающего случая пока не предложили.
Предложил. Симметрическая матрица 3-го порядка с действительными элементами.

-- 04.06.2015, 19:29 --

Можно даже считать, с нулевым следом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение05.06.2015, 02:34 


06/12/14
510
Brukvalub в сообщении #1023306 писал(а):
Одной из основных теорем л.а. является след. теорема: каждая симметрическая матрица подобна диагональной, поскольку симметрические матрицы отвечают самосопряженным операторам в Евклидовом пространстве, а канонический вид матриц таких операторов - диагональный.

Спасибо. Но я не понял, почему вы это написали в ответ на мое "если А не диагонально то кратных СЗ нет". Поясните, пожалуйста.
Сам я, когда писал, рассуждал так: пусть $B$-исходная матрица. Есть ортогональная матрица $C$ такая, что матрица $C^{-1}BC$ является матрицей вида $$\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & a\end{matrix}$$ где $A$ - блок $2\times2$. Тогда $a$ одно из СЗ. Если другие два значения кратные, то $A$ обязательно диагональная. Понятно, что этот подход никакой. Написал это скорее потому, что стало любопытно, есть ли критерий. Судя по постам ewert, критерий имеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение05.06.2015, 08:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
unistudent в сообщении #1023533 писал(а):
Спасибо. Но я не понял, почему вы это написали в ответ на мое "если А не диагонально то кратных СЗ нет". Поясните, пожалуйста.

Я написал это, чтобы разъяснить вам вашу ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение05.06.2015, 09:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
armez в сообщении #1023288 писал(а):
Нет ли чего-нибудь попроще для этого частного случая?


ewert в сообщении #1023391 писал(а):
Почему только для кубического? Технические затруднения связаны вовсе не со степенью, а с выписыванием самого характеристического многочлена.


Можно вспомнить такую штуку:
$$
\frac{d}{d\lambda}\det A(\lambda)=\sum\limits_{i,j=1}^n \left(\frac{d}{d\lambda} a_{ij}(\lambda)\right)\hat{A}_{ij} (\lambda),
$$
где $\hat{A}_{ij}(\lambda)$ -- алгебраическое дополнение. В данном случае получится сумма трёх определителей $2\times 2$, каждый умноженный на $-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение05.06.2015, 09:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
А толку-то? Сам характеристический многочлен всё равно понадобится; так проще именно его и продифференцировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий наличия кратных СЗ
Сообщение05.06.2015, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
ewert в сообщении #1023557 писал(а):
Сам характеристический многочлен всё равно понадобится


Можно найти корни производной, а потом найти ранг матрицы $A-\lambda I$ для каждого корня (методом Гаусса). Правда, не похоже, чтобы это было вычислительно проще.

-- Пт, 05 июн 2015 00:09:35 --

К тому же, действительно, зная характеристический полином и его производную, можно просто вычислить их НОД по алгоритму Евклида.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group