Случайная последовательность

[alcoholist]

Я в случайных процессах дилетант, может кто подскажет!

Пусть $Z_i$ одинаково распределенные случайные величины с известным распределением, $-1\le Z_i\le 1$. Строим случайную последовательность следующим образом: $X_1=0$ и

$$ X_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} X_i+Z_i,&X_i+Z_i>0,\\ 0,&X_i+Z_i\le 0\end{array}\right. $$

Меня интересует матожидание величин $X_i$.
Может статься, это какая-то известная штука?

Я начал так. Пусть $f_i$ -- плотность распределения $X_i$ и $f$ -- плотность распределения $Z_i$.
Вроде как

$$f_2(x)=\delta(x)P(Z\le 0)+\mathbf{1}(x)f(x)$$

и

$$f_{i+1}(x)=\delta(x)P(X_i+Z\le 0)+\mathbf{1}(x)f_{X_i+Z}(x).$$

Здесь плотность суммы $f_{X_i+Z}$ выражается через свертку, $\mathbf{1}(x)$ -- характеристическая функция положительной полуоси.

Плотность $f(x)$ устроена просто: линейный рост, постоянная, линейное убывание, $f(-1)=f(1)=0$.

[Legioner93]

Вроде $P(X_n + Z > 0) = P(Z > 0)$ для любого $n$. Проверьте, в 3 ночи мог накосячить. Тогда дальше элементарно через формулу условного матожидания.

[alcoholist]

Legioner93 в сообщении #1022165 писал(а):

Вроде $P(X_n + Z > 0) = P(Z > 0)$

не, $P(X_n + Z > 0) = P(Z >-X_n)$

[Legioner93]

${P(X_2 + Z > 0) = P(X_2 + Z > 0 , X_1 + Z > 0) + P(X_2 + Z > 0 , X_1 + Z \leq 0)} = {P(Z + Z > 0 , Z > 0) + P(Z > 0 , Z \leq 0) = P(Z > 0)}$

$P(X_3 + Z > 0) = {P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z > 0) + P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z \leq 0)} = {P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z > 0, X_1 + Z > 0) + P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z > 0, X_1 + Z \leq 0)} + {P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z \leq 0, X_1 + Z > 0) + P(X_3 + Z > 0 , X_2 + Z \leq 0, X_1 + Z \leq 0)} = {P(Z + Z + Z > 0 , Z + Z > 0, Z > 0) + P(Z + Z + Z > 0 , Z + Z > 0, Z \leq 0)} + {P(Z + Z + Z > 0 , Z + Z \leq 0, Z > 0) + P(Z + Z + Z > 0 , Z + Z \leq 0, Z \leq 0)} = P(Z > 0)$

[alcoholist]

В выражении

Legioner93 в сообщении #1022201 писал(а):

$ P(X_2 + Z > 0 , X_1 + Z > 0) $

Это разные $Z$. Надо было мне точнее выражаться. Сейчас отредактирую первый пост

[Legioner93]

alcoholist
Ну понятно. $Z_i$ -- семейство одинаково распределенных независимых с.в. И далее по тексту

[--mS--]

Ваш процесс $X_i$ - типичный процесс времени ожидания в одноканальной системе обслуживания $X_{n+1}=\max(X_n+Z_n, \, 0)$. Собственно, в ТМО или около и надо искать результаты о поведении этого процесса. Если $Z_i$ независимы и одинаково распределены, то распределение $X_{n+1}$ такое же, как у $\overline S_n=\max\{0,\, S_1,\,\ldots,S_n\}$, где $S_k=Z_1+\ldots+Z_k$. Уже судя по этому даже матожидание просто искаться не должно. Есть формула Поллачека - Спитцера, связывающая харфункцию $\overline S_n$ с харфункциями величин $\max(0,\,S_n)$. Но из этой формулы матожиданий в общем случае не достать. Разве что для полунепрерывных сверху случайных блужданий, когда $Z_i$ целочисленны и их максимальное значение - единица. Вот тут изложено, как: topic51719.html
Или для случая, когда $Z_i$ неотрицательны, но это совсем не интересно :)