Задача на случайные блуждания

[druggist]

Отличие от классического случая симметричного одномерного блуждания следующее. При выпалении "орла" частица смещается вверх на расстояние $a$, а при выпадении "решки" вниз на то же расстояние, но при достижении нулевого уровня прыжки вниз по определению невозможны, поэтому при выпадении "решки" частица стоит на месте до тех пор пока снова не выпадет орел после чего смещается вверх на расстояние $a$. Можно еще наглядно проиллюстрировать, башня из одинаковых кубиков стороной $a$. В случае исчезновения башни "игра" не прекращается(как, например, в задаче о разорении), а первый кубик появляется после первого же после попадания на нулевой уровень выпадения "орла". Найти как обычно вероятность образования башни из $k$ кубиков после $n$ бросаний монеты. Понятно, что исходить надо из схемы Бернулли, но каков будет результат, может быть где-то такая задача уже решена или ее легко можно свести к общеизвестным(теорема арксинуса, задача о разорении и пр.) ?

[--mS--]

Ну во-первых, к чему $\pm a$, когда от $a$ ничего не зависит? Вполне достаточно $\pm 1$. Да и дискуссионного в этой теме ничего нет.

Положение описанной частицы в момент $n$ определяется хорошо известным в теории массового обслуживания соотношением $X_{n+1} = \max(X_n + \xi_{n+1},\, 0)=(X_n+\xi_{n+1})^+$, $\xi_i=\pm 1$ - скачки блуждания, $X_0=0$. Если скачки блуждания $\xi_i$ независимы и одинаково распределены, то распределение величины $X_n$ совпадает с распределением $\max(0, S_1, \ldots, S_n})$ (могу врать на единичку в каких-нибудь индексах), где $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$. Т.е. с распределением $\overline{S_n}=\max(0, S_1, \ldots, S_n})$ - максимум последовательных сумм. Подробнее об этом см., например, "ТВ" А.А.Боровкова, параграф 4 гл. 11.

В свою очередь, распределение супремума первых $n$ сумм для полунепрерывного сверху случайного блуждания (а наше такое и есть) ищется с помощью двойственных соотношений между $\overline{S_n}$ и моментом $\eta(x)=\min\{k\, :\, S_k\geq x\}$ первого выхода блуждания $S_n$ на уровень $x$. Эти двойственные соотношения $\mathsf P(\eta(x)=n)=\frac{x}{n}\mathsf P(S_n=x)$ следуют из тождества Поллачека - Спитцера. Подробнее об этом там же, параграф 8.

Вероятность в правой части считается по формуле Бернулли для соответствующих $x$, по ней находится $\mathsf P(\eta(x)=n)$, а дальше распределение максимума первых $n$ сумм ищется как $\mathsf P(\overline {S_n} < x)=\mathsf P(\eta(x) > n)$.

[PAV]

Перемещено из дискуссионного раздела в учебный

[druggist]

--mS-- в сообщении #510118 писал(а):

Вероятность в правой части считается по формуле Бернулли для соответствующих ,

Ничего не понял, что в итоге можно сказать про $P_k(n)$ ? Будь тема хоть трижды учебная, ответ то можно дать нормальный? Какую то чушь намолотили...

[--mS--]

druggist в сообщении #510302 писал(а):

Ничего не понял, что в итоге можно сказать про $P_k(n)$ ? Будь тема хоть трижды учебная, ответ то можно дать нормальный? Какую то чушь намолотили...

Извините, по средам не подаю. Всё, что нужно для получения ответа, выше изложено. Не можете воспользоваться и довести до ответа - значит, Вам и ответ не нужен.