Предкомпактность множества

[HenryDukart]

Добрый день. Я не могу понять, где ошибка в рассуждениях. Дано множество $M=\{arctg(nt), n \in N\}$. Нужно исследовать его на предкомпактность в $C[0, 1]$. Вот что я делал:

1) По теореме Аоцела-Асколи для предкомпактности множества в $C[0, 1]$ необходимо и достаточно, чтобы множество было равномерное ограниченно и равностепенно непрерывно:

$\left | arctg(nt) \right | \leqslant \frac{\pi}{4}$
$(arctg(nt))'=\frac{n}{1+(nt)^2} \leqslant 2 \Rightarrow |arctg(nt_1) - arctg(nt_2)| \leqslant $
$\leqslant |arctg(n\xi)||t_1-t_2| \leqslant 2|t_1-t_2|$

Следовательно, $M$ является предкомпактным.
С другой стороны я могу выбрать две точки $t_1=0, t_2=1/n$, что
$|t_1-t_2|=\frac{1}{n}\rightarrow 0$, но $|arctg(0)-arctg(n\frac{1}{n})|=\frac{\pi}{4}$ не стремится к 0. Следовательно, множество не является равностепенно непрерывным и не является предкомпактным.

[g______d]

HenryDukart в сообщении #1021801 писал(а):

$\frac{n}{1+(nt)^2} \leqslant 2$

Найдите здесь ошибку.

[HenryDukart]

g______d в сообщении #1021803 писал(а):

HenryDukart в сообщении #1021801 писал(а):

$\frac{n}{1+(nt)^2} \leqslant 2$

Найдите здесь ошибку.

Понял. $\frac{n}{1+(nt)^2} \sim \frac{\frac{1}{n}}{t}$?

[Oleg Zubelevich]

по-моему задача для устного счета. если множество предкомпактно, то оно содержит сходящуюся в $C[0,1]$ подпоследовательность. чего у нас не наблюдается, поскольку поточечный предел последовательности -- функция разрывная.