Тригонометрическое уравнение с параметров

[SomePupil]

Найти все $p$, такие, что уравнение

$5\cos2\alpha + p = 6\sin^3\alpha$

Не имеет корней

Я сделал вот что: раскрыл двойной косинус, поделил все на косинус в квадрат, выразил все слагаемые через $a = \tg^2x$ и получил:

$p = \frac{5a - 5 + 6a\sqrt{\frac a{a+1}}}{a + 1}$

Дальше - тупик. Как выяснить, до каких пор эта функция может повышаться или уменьшаться? Грубо говоря, как найти "нижнюю" и "верхнюю" "границы" этой функции?

[Brukvalub]

Подсказка: $p$ не должно лежать во множестве значений функции $f(t) = =6t^3+10t^ 2-5$ на отрезке $ t \in [-1; 1]$.

[ET]

SomePupil в сообщении #1019820 писал(а):

выразил все слагаемые через $a = \tg^2x$

Имхо, действие лишнее
Я вот просто выразил $p$ через так, как все записано и, если я не накосячил, у производной полученного выражения вполне несложно ищутся корни

[SomePupil]

Аа, дошло.

$t = \sin\alpha$

Функция $p(t)$ принимает наименьшее значение при $t = -\frac 59$, наибольшее - в одной из крайних точек. Дальше решает непрерывность.

-- 26.05.2015, 13:49 --

Аа, дошло.

$t = \sin\alpha$

Функция $p(t)$ принимает наименьшее значение при $t = -\frac 59$, наибольшее - в одной из крайних точек. Дальше решает непрерывность.

[ewert]

SomePupil в сообщении #1019832 писал(а):

Функция $p(t)$ принимает наименьшее значение при $t = -\frac 59$,

Не совсем в этой -- и, соответственно, заведомо не в этой. А вот другой корень Вы потеряли.

[OlegCh]

(Оффтоп)

SomePupil в сообщении #1019832 писал(а):

Аа, дошло.

$t = \sin\alpha$

Функция $p(t)$ принимает наименьшее значение при $t = -\frac 59$, наибольшее - в одной из крайних точек. Дальше решает непрерывность.

-- 26.05.2015, 13:49 --

Аа, дошло.

$t = \sin\alpha$

Функция $p(t)$ принимает наименьшее значение при $t = -\frac 59$, наибольшее - в одной из крайних точек. Дальше решает непрерывность.

Что, два раза дошло???

[SomePupil]

Все исправил. Я нуль не учел (в прямом и переносном смысле).

Да, дошло дважды