2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 эрмитова (комплексная матрица), собственные значения
Сообщение01.11.2007, 17:00 
дана эрмитова матрица, например
$A=\left(\begin{array}{ccc}
{1}1& i& 1+i\\
-i& -2& 3i\\
1-i& -3i&  1\end{array}
\right)
нужно найти ее собственные значения и векторы
в лит-ре описаны только вещественные матрицы, в частности приведение к трехдиагональному виду, но в случае с комплексными числами, по-моему, это не работает, но пишут, что этот алгоритм нужно несколько видоизменить.
вопрос каким образом?
прошу не оставлять ссылки на программы на фортране и т.д.
очень прошу помочь с алгоритмом, заранее спасибо[/math]

 
 
 
 
Сообщение01.11.2007, 17:49 
Аватара пользователя
Нужно делать в точности так же, как и в вещественном случае.

 
 
 
 
Сообщение01.11.2007, 20:59 
Brukvalub писал(а):
Нужно делать в точности так же, как и в вещественном случае.


в этом-то вся загвоздка
матрица
$ A=P^THP, P^TP=E$
$H$ - матрица Хессенберга (трехдиагонльная), а нужно найти $P$
$P=E-2vv^T/(v^Tv)
как выбрать $v$?

если $v=x+\alpha e, x$ - столбец с обнуляемыми элементами,
$\alpha $- знак $x_1$, $e$ - орт,
получается $v=\left\{ 2; -i; 1-i \right\}$, тогда $P^TP=E$, но совсем не похоже на то, что выдает MatLab и $PAP^T$ уж совсем не то, что нужно - получается хлам, а должны обнуляться элементы (причем за одну итерацию)

что я делаю не так?

 
 
 
 
Сообщение01.11.2007, 21:43 
Аватара пользователя
Сначала Вы писали:
ilyagoo писал(а):
нужно найти ее собственные значения и векторы
Потом задача поменялась:
ilyagoo писал(а):
в этом-то вся загвоздка
матрица A=P'HP, P'P=E
H - матрица Хессенберга (трехдиагонльная), а нужно найти P
Так что же Вам все-таки нужно найти? Я комментировал первый вопрос.

 
 
 
 
Сообщение02.11.2007, 04:34 
Аватара пользователя
 !  ilyagoo
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС).

 
 
 
 
Сообщение04.11.2007, 06:08 
Аватара пользователя
Возвращаю

 
 
 
 
Сообщение04.11.2007, 12:18 
Brukvalub писал(а):
Так что же Вам все-таки нужно найти? Я комментировал первый вопрос.

Насколько я понял, сначала нужно привести эрмитову матрицу к трехдиагональному виду, а потомQR разложением найти собственные значения и векторы. но на первом же шаге я терплю неудачу, что я делаю не так?
кстати, а собственные значения могут быть комплексными, или они должны быть вещественными?

 
 
 
 
Сообщение07.11.2007, 20:18 
господа, обладает ли, все-таки, кто-нибудь из вас столь ценными для меня знаниями по нахождению собственных значений и векторов комплексной эрмитовой матрицы? огромная просьба поделиться:)

 
 
 
 
Сообщение07.11.2007, 20:46 
Аватара пользователя
ilyagoo писал(а):
кстати, а собственные значения могут быть комплексными, или они должны быть вещественными?

Собственные значения точно могут быть комплексными.
Я лично находил с помощью $QR$ алгоритма собственные значения только для матриц с действительными элементами, но с комплексными собственными значениями. В этом случае $QR$ алгоритм дает возможность совершенно четко определять такие собственные значения.

Добавлено спустя 21 минуту 13 секунд:

А если представить Вашу матрицу в виде суммы двух, одна из которых умножена на комплексную единицу?
И затем уже работать с каждой действительной матрицей по отдельности.

 
 
 
 
Сообщение07.11.2007, 22:18 
почитал тут еще литературку, все-таки собственные числа у такой матрицы могут быть только вещественными, но как их найти все еще не понятно, продолжаем обсуждение:)

 
 
 
 
Сообщение07.11.2007, 22:22 
Аватара пользователя
Вещественные потому, что матрица эрмитова.
Я сразу на этом не сконцентрировал внимание.

 
 
 
 
Сообщение07.11.2007, 22:31 
Аватара пользователя
ilyagoo писал(а):
как их найти все еще не понятно
Да что тут понимать-то? Решаем вековое уравнение \[\det (A - \lambda E) = 0\] и получаем собственные числа.

 
 
 
 
Сообщение08.11.2007, 08:00 
ilyagoo писал(а):
господа, обладает ли, все-таки, кто-нибудь из вас столь ценными для меня знаниями по нахождению собственных значений и векторов комплексной эрмитовой матрицы? огромная просьба поделиться:)

Такими знаниями обладал, например, Уилкинсон, каковыми знаниями он поделился в своих книгах:
- Дж.X.Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. 1970
- Райнш, Уилкинсон. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра.1976

Первая книга - это монография. Вторая - справочник, с программами НЕ на фортране. :) К каждому алгоритму есть достаточно подробное описание и реализация на давно забытом Алголе-60.

Мне лично всегда было достаточно того, что алгоритм описан у Уилкинсона, а вычисления можно выполнить с помощью подпрограмм из стандартных пакетов.

 
 
 
 
Сообщение08.11.2007, 09:08 
Brukvalub писал(а):
ilyagoo писал(а):
как их найти все еще не понятно
Да что тут понимать-то? Решаем вековое уравнение \[\det (A - \lambda E) = 0\] и получаем собственные числа.

я бы решил это эравнение, не будь матрица размерностью 100*100, например, а 100 корней как-то не охота численно находить. та матрица 3*3 - только пример, чтобы понять, как считать на бумажке.

Yuri Gendelman писал(а):
Такими знаниями обладал, например, Уилкинсон, каковыми знаниями он поделился в своих книгах:
- Дж.X.Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. 1970

спасибо за совет, сейчас скачаю - взгляну, но что-то мне подсказывает, что там то же, что и везде:)

 
 
 
 
Сообщение08.11.2007, 09:31 
Аватара пользователя
ilyagoo писал(а):
матрица размерностью 100*100

Lapack
http://alglib.sources.ru/eigen/hermitia ... ianevd.php
НИВЦ МГУ
http://www.srcc.msu.ru/num_anal/lib_na/ ... nt_ae5.htm

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group