Система тригонометрический уравнений с параметром

[amoral10]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся со следующей задачей:
нужно найти наибольшее значение параметра $a$, при котором система уравнений
$\left\{\begin{array} ((2a - 1))\sin{x} + \cos{x} = 2,\\ a\sin{x} + (2a - 1)\cos{x} = a + 1;\\ \end{array}\right.$
имеет бесконечное количество решений.

Вот что я делаю:
из перовго уравнения

$\cos{x} = 2 + \sin{x} - 2a\sin{x}$

подставляем во второе и получаем:

$(5a - 1 - 4a^2) \sin{x} = -3a + 3$

или окончательно для $\sin{x}$

$\sin{x} = \frac{-3(a-1)}{-4a^2+5a-1}$

Поскольку $-1 \leq \sin{x} \leq 1$, то имеем
$\left\{ \begin{array} --1 \leq \frac{-3(a-1)}{-4a^2+5a-1} \\ 1 \geq \frac{-3(a-1)}{-4a^2+5a-1} \\ \end{array}\right.$

Решение: $a \leq -1/2$ и $a > 1$

-- 23.05.2015, 14:25 --

Получается, что $a = \infty $, но правильный ответ другой (проверял на wolframalpha)
Где я что-то упустил?

[mihailm]

amoral10, решите вашим способом (выразив $x^2$ из первого уравнения и подставив во второе) систему ниже:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2+x=2 \\ x^2-2x=3 \\ \end{array} \right.$

[amoral10]

mihailm да, что-то я не могу сконцентрироваться, спасибо на указание

-- 23.05.2015, 14:58 --

но может быть, хоть намекните что делать

[mihailm]

Попробуйте решить первое уравнение, потом второе. Затем выясняйте, когда решения совпадут

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Формулы в доллары заключите.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[amoral10]

Итак, решение первого уравнения:

$\frac{2a-1}{\sqrt{(2a-1)^2+1}}\sin{x} + \frac{1}{\sqrt{(2a-1)^2+1}}\cos{x} = \frac{2}{\sqrt{(2a-1)^2+1}}$

$\frac{2a-1}{\sqrt{(2a-1)^2+1}}=\cos{\varphi}$; $\frac{1}{\sqrt{(2a-1)^2+1}}=\sin{\varphi}$; $\frac{1}{2a-1}=\tg{\varphi}$

$\sin{x+\varphi} = \frac{2}{\sqrt{(2a-1)^2+1}}$

$x = (-1)^k\arcsin{\frac{2}{\sqrt{(2a-1)^2+1}}} - \arcsin{\frac{1}{\sqrt{(2a-1)^2+1}}} + \pi k$

Решение второго:

$\frac{a}{\sqrt{(2a-1)^2+a^2}}\sin{x} + \frac{2a - 1}{\sqrt{(2a-1)^2+a^2}}\cos{x} = \frac{a + 1}{\sqrt{(2a-1)^2+a^2}}$

$\frac{2}{\sqrt{(2a-1)^2+a^2}} = \cos{\psi};$ $\frac{2a - 1}{\sqrt{(2a-1)^2+a^2}} = \sin{\psi};$ $\frac{2a - 1}{a} = \tg{\psi}$

$\sin{x + \psi} = \frac{a + 1}{\sqrt{(2a-1)^2+a^2}}$

$x = (-1)^k\arcsin{\frac{a+1}{\sqrt{(2a-1)^2 + a^2}}} - \arcsin{\frac{2a-1}{\sqrt{(2a-1)^2 + a^2}}} + \pi k$

-- 27.05.2015, 06:04 --

Из первого следует, что
$\frac{2}{\sqrt{(2a-1)^2 + 1}} \leqslant 1$
и соответственно $a \in \left(-\infty;\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}; \infty\right)$

Из второго:
$-1 \leqslant \frac{a+1}{\sqrt{(2a-1)^2+a^2}} \leqslant 1$
и соответственно $a \in \left(-\infty; 0\right] \cup \left[\frac{3}{2};\infty\right)$

Напомню, что нужно найти такое максимальное значение $a$, чтобы система этих двух уравнений имела бесконечное количество решений. Ясно, что
$a \in \left(-\infty; \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2};\infty\right)$

А дальше что? Нужно приравнивать решения?

-- 27.05.2015, 06:25 --

Но я не умею решить

$-\arcsin{\frac{2}{\sqrt{(2a-1)^2+1}}} - \arcsin{\frac{1}{\sqrt{(2a-1)^2+1}}} = -\arcsin{\frac{a+1}{\sqrt{(2a-1)^2+a^2}}} - \arcsin{\frac{2a-1}{\sqrt{(2a-1)^2+a^2}}}$

И у меня ощущения, что я где-то что-то опять упустил

[Brukvalub]

Ошибок в первом подходе, как минимум, две.
1. Если вы делите на выражение с параметром, то так можно и на 0 иногда разделить.
2. Синус и косинус одинакового аргумента не являются независимыми переменными: их связывает Великое Основное Тождество!
Тем не менее, в первом подходе все еще можно исправить.

[amoral10]

Brukvalub, если $a$ не является мнимым (а здесь оно действительное), то выражения, на которые я делю, никогда не будут равны 0. Следовательно, по первому пункту не соглашусь с вами.
А вот второй пункт можно было бы как то использовать, но не могу сообразить как.
Не подскажите?

[Brukvalub]

Говоря о делении на нуль, я писАл вот про это:

amoral10 в сообщении #1018797 писал(а):

$\sin{x} = \frac{-3(a-1)}{-4a^2+5a-1}$

[amoral10]

но это дает мне только, что $a \ne 1$ и $a \ne 1/4$.
А для параметра я нашел такое

amoral10 в сообщении #1020267 писал(а):

Ясно, что
$a \in \left(-\infty; \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2};\infty\right)$

-- 29.05.2015, 20:08 --

Это лишь область, где и первое, и второе уравнения имеют решения, а нужно найти такое наибольшее $a$, чтобы система имела бесконечное число решений.
кстати, правильный ответ: $a = 3/2$
но я не знаю, как это показать

[Brukvalub]

Система линейна относительно синуса и косинуса, следовательно, ее можно очень просто решить относительно этих функций, после чего наложить на решение основное триг. тождество.