Логическое следование

[maximk]

Пусть $x=2$. Рассмотрим следование: $x=3 \rightarrow x=2$.
Как подобрать интерпретацию так, чтобы значение импликации было $True$ в подобных случаях?

(Оффтоп)

Понятно, что пример может быть и неудачен, можно исхитриться и сделать следование верным, но речь не конкретно об этом примере.

Ведь не всегда найдутся интерптерации для всех умозаключений такие, что ложь влечет истину.

-- 17.05.2015, 16:41 --

А, понял, здесь как раз вступает в силу замечание whitefox, правильно?

[whitefox]

maximk в сообщении #1016428 писал(а):

Пусть $x=2$. Рассмотрим следование: $x=3 \rightarrow x=2$.
Как подобрать интерпретацию так, чтобы значение импликации было $True$ в подобных случаях?

Так как материальная импликация не является релевантной экспликацией условной связи, а лишь сокращением для $(\neg A\vee B),$ то Ваша формула означает ровно следующее $(x\ne3\vee x=2).$ Здесь никакого парадокса нет.

[maximk]

epros в сообщении #1016368 писал(а):

Из ложной предпосылки, вообще-то, можно вывести что угодно

Прям таки что угодно?

-- 17.05.2015, 16:49 --

whitefox, а нематериальная импликация это какая?

[bot]

Конечно. Например, что я папа римский. Доказательство от противного. Что является целью? Получение заведомо ложного утверждения. А чего напрягаться, если оно уже дано в посылке.

[epros]

maximk в сообщении #1016444 писал(а):

epros в сообщении #1016368 писал(а):

Из ложной предпосылки, вообще-то, можно вывести что угодно

Прям таки что угодно?

Да. В противоречивой теории выводимо любое утверждение. А принимая в качестве предпосылки (т.е. добавляя в качестве аксиомы) нечто заведомо ложное, Вы делаете теорию противоречивой.

[whitefox]

maximk в сообщении #1016444 писал(а):

а нематериальная импликация это какая?

Ну есть ещё "строгая импликация", "релевантная импликация" и многие другие.

Но в классической логике есть только одна — материальная импликация, и потому её обычно именуют просто "импликацией", а эпитет "материальная" используют когда хотят подчеркнуть, что эта логическая связка не является релевантной экспликацией условной связи, а лишь сокращением для $(\neg A\vee B).$

[maximk]

whitefox, не могли бы еще пояснить, что есть строгая импликация и релевантная экспликация условной связи? Спасибо.

[whitefox]

Строгая импликация используется в модальных логиках льюисовского типа S1 — S5, а релевантная импликация в релевантной логике. Можете почитать об этом у Войшвилло или, хотя бы, в Википедии

-- 17 май 2015, 16:58 --

maximk в сообщении #1016462 писал(а):

что есть . . . релевантная экспликация условной связи

Под этим понимается адекватное, не парадоксальное определение импликации, полностью соответствующее интуитивному понятию условной связи "если . . . то . . . ". Собственно для этого и была введена релевантная логика. Впрочем, вопрос остался — насколько, используемое там, понятие "релевантной импликации" релевантно условной связи?

[maximk]

whitefox, спасибо, читаю "Модальную логику" Фейса, надеюсь, найду там информацию о строгой импликации, ибо там упоминаются логики люьюисовского типа (вроде бы). Как-нибудь почитаю Войшвилло.

[arseniiv]

maximk
Я попробую ещё раз другими словами уже сказанное.

(1) Классическая, «самая простая», логика, имеет дело только с истинностью высказываний и ничем более. Соответственно, она не может выразить ничего лучше материальной импликации, потому что не может сравнить какие-то другие свойства высказываний кроме истинности — никаких причинно-следственных связей и всяких других модальностей.

(2) Импликация $a\to b$, как можно видеть, если задать на значениях истинности порядок $0<1$, равна 1 ттт, когда $v(a)\leqslant v(b)$, где $v(s)$ — значение высказывания $s$ в каком-то (всегда одном и том же) контексте. Т. е. цепочка значений высказываний $v(a_1),\ldots,v(a_n)$ обязана неубывать ттт $v(a_1\to a_2)=\ldots=v(a_{n-1}\to a_n)=1$.

[epros]

arseniiv в сообщении #1016556 писал(а):

Классическая, «самая простая», логика, имеет дело только с истинностью высказываний и ничем более. Соответственно, она не может выразить ничего лучше материальной импликации

Я бы сказал, что тавтологии типа $\neg p \to (p \to q)$ (т.е. что из ложного утверждения выводимо всё) являются прямым следствием именно двузначности логики, а не того, что "логика имеет дело только с истинностью". То бишь возможны логики, которые "имеют дело только с истинностью", но в которых вышеуказанное не есть тавтология. В частности, в конструктивную логику вышеуказанная аксиома добавляется достаточно произвольным образом (т.е. нет ничего такого фундаментального, что заставляет нас её принимать).

arseniiv в сообщении #1016556 писал(а):

никаких причинно-следственных связей и всяких других модальностей.

Честно говоря, я вообще не понимаю смысла разговоров о каких-то "причинно-следственных связях" вне логики. По-моему, причинно-следственные связи появляются только после того, как в языке появляется символ импликации (и связанное с ним правило вывода modus ponens). При этом мы вовсе не обязаны интерпретировать $p \to q$ как эквивалент $\neg p \vee q$, как это делает классическая логика.

[arseniiv]

Да, я чего-то двузначность тут посчитал естественной и молчаливо включил в остальное. Про конструктивную логику помнил, но решил не упоминать как раз из-за того, что забыл вот это, а теперь она хорошо вписывается.

epros в сообщении #1016594 писал(а):

Честно говоря, я вообще не понимаю смысла разговоров о каких-то "причинно-следственных связях" вне логики.

Люди почему-то их любят и тащат как можно дальше, так что оговорка не повредит.

epros в сообщении #1016594 писал(а):

В частности, в конструктивную логику вышеуказанная аксиома добавляется достаточно произвольным образом (т.е. нет ничего такого фундаментального, что заставляет нас её принимать).

А разве там связь импликации с частичным порядком пропадает? (Сейчас не думал.) Просто в число булевых алгебр как интерпретаций языка высказываний добавляются алгебры Гейтинга, и всё.

[epros]

arseniiv в сообщении #1016598 писал(а):

А разве там связь импликации с частичным порядком пропадает? (Сейчас не думал.)

Честно говоря, я не вижу никакой added value в сопоставлении импликации с частичным порядком. Ибо частичный порядок, грубо говоря, определяется любым транзитивным бинарным отношением.

[whitefox]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1016666 писал(а):

Ибо частичный порядок, грубо говоря, определяется любым транзитивным бинарным отношением.

Вообще говоря, определяется предпорядок. Причём любым бинарным отношением, а не только транзитивным. В том смысле, что транзитивное и рефлексивное замыкание любого бинарного отношения выполняется совершенно однозначно. И результатом такого замыкания будет предпорядок.

[arseniiv]

epros
Так ведь речь не о любом частичном порядке, а о ч. порядке на значениях истинности (который абы каким быть не может).