Виды сходимостей функциональных последовательностей

[oHag]

Извините, может, за тупой вопрос, но не подскажете ли, какой вид сходимости обозначается значком "=>"?
Типа, $f_n(x) => f(x) $.

[Someone]

Может быть, равномерная?

Но это не более чем догадка. Объяснение нужно искать там, откуда Вы взяли это обозначение.

[AD]

В книжке "Дьяченко, Ульянов. Мера и интеграл" таким значком обозначается сходимость по мере.

[Henrylee]

Еще так часто обозначают слабую сходимость по распределению

[romodos]

В математическом анализе данная запись означает сходимость функциональной последовательности fn к f в среднем.
ФП $f_n(x)$сходится в среднем на сегменте [a;b] к функции f(x), если
$\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))^2 dx=0$

[AD]

Henrylee писал(а):

Еще так часто обозначают слабую сходимость по распределению

И такое я тоже видел ...

romodos писал(а):

В математическом анализе данная запись означает сходимость функциональной последовательности fn к f в среднем.

А вот такого пока что не видел, но, может быть, еще все у меня впереди.

Вообще, вопрос еще открыт? Может, фразочку напишите, где это встретилось, в каком контексте?

[romodos]

Просто в данном контексте похоже, что речь идет именно про матан, а не теорвер, т.к. обычно $f_n(x)$ означают любую функциональную последовательность, а последовательность случайных величин - $\xi_n(x). В теории вероятности данная запись действительно обычно означает слабую сходимость (сходимость по распределению).

[Taras]

В курсе, который читали мне, такой значок означает равномерную сходимость последовательности функций к некоторой функции(над стрелочкой часто указывали на каком множестве).

[Brukvalub]

romodos писал(а):

В математическом анализе данная запись означает сходимость функциональной последовательности fn к f в среднем.
ФП $f_n(x)$сходится в среднем на сегменте [a;b] к функции f(x), если
$\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))^2 dx=0$

А меня учили, что указанная Вами сходимость называется среднеквадратичной. Сходимость же в среднем - это сходимость в

\[L^1 \]

а не в

\[L^2 \]

. Вот и Вики со мной согласна: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1% ... _%D0%B2_Lp

[Henrylee]

romodos писал(а):

Просто в данном контексте похоже, что речь идет именно про матан , а не теорвер

скорре всего да, хотя..

romodos писал(а):

обычно $f_n(x)$ означают любую функциональную последовательность, а последовательность случайных величин - $\xi_n(x).

не совсем согласен, что по букве, обозначающей функцию, можно определить раздел математики. Есть куча статей, в которых случайные величины обозначаются и буквой $f$, особенно если вероятностное пространство бесконечномерное ЛТ, а $f$ - линейный функционал.

[oHag]

Ех, терь уже и не знаю, что думать. Столько вариантов... Препод просто написал задачу на доске, без комментариев. Значок не озвучил. Это функциональный анализ. В книжке, которую он нам разрекламировал и порекомендовал, я не нашел такого значка. Было только указаны 4 вида сходимостей измеримых функций: точечная, равномерная, почти всюду и по мере (которые используются обычно в задачах, связанных с интегрированием). Причем про вторые две было написано, как они обозначаются, а про первые две - просто написано словами... И вспоминается мне, что встречался еще один значок сходимости как-то, две стрелочки отдельные вообще одна над другой. В общем, что-то я совсем в растерянности.
А возник вопрос в контексте такой задачи:
Пусть $f_n(x) => f(x) $ и \rho_n(x) => \rho(x) $ при n ->\infty на А. Доказать, что $f_n(x) + \rho_n(x) => f(x) + \rho(x)$ при n ->\infty на А.
Может, это поможет кому-нибудь идентифицировать вид сходимости?

[Brukvalub]

Самое смешное, что это свойство выполняется для всех указанных Вами видов сходимости, так что проверьте его для всех 4-х случаев, и не промахнётесь

[Henrylee]

oHag писал(а):

И вспоминается мне, что встречался еще один значок сходимости как-то, две стрелочки отдельные вообще одна над другой.

Вот это точно обозначение равномерной сходимости.
Поскольку сходимость в среднем (и среднем квадратичном) не входит в указанные 4, а поточечная и п.в. обозначаются одной стрелкой (других обозначений не встречал для них) то методом исключения - это скорее всего сходимость по мере.

PS Кстати еще вспомнил, так вроде бы еще сходимость в основном где-то обозначали (почти в сюду в точках непрерывности функции)

[romodos]

Brukvalub писал(а):

romodos писал(а):

В математическом анализе данная запись означает сходимость функциональной последовательности fn к f в среднем.
ФП $f_n(x)$сходится в среднем на сегменте [a;b] к функции f(x), если
$\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))^2 dx=0$

А меня учили, что указанная Вами сходимость называется среднеквадратичной. Сходимость же в среднем - это сходимость в

\[L^1 \]

а не в

\[L^2 \]

. Вот и Вики со мной согласна: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1% ... _%D0%B2_Lp

Просто разные обозначения. Различие обозначений в матане vs функан и теорвер всегда путают)) Поэтому противоречий нет.

[NRM]

Помогите, пожалуйста, в затыке с задачей:
Показать, что f_n не сходится равномерно на [0, 1]. Найти поточечный предел последовательности, если он существует. Если нет, найти $\lim\limits_{n \to \infty} \, {f_n}$ почти всюду. Выяснить, какие из теорем о предельном переходе Лебега, Леви, Фату применить к последовательности f_n. Найти и сравнить интегралы $\int\limits_{[0,1]}{\lim\limits_{n \to \infty} {f_n(x)}} \, dx$ и $\lim\limits_{n \to \infty} {\int\limits_{[0,1]} {f_n(x)}} \, dx$.
$f_n(t)=\begin {cases} n, & t\in {\left [ \frac{1}{(n+1)^2}; \frac{1}{n^2} \right ] } \\ \sin{t}, & t \in \left [ 0; \frac{1}{(n+1)^2}; \right [ \cup \left ] \frac{1}{n^2}; 1 \right ] \\ \end{cases} $.
Чтобы судить о том, что он не сходится равномерно (а сходится поточечно или еще как-то), надо иметь представление о том, к чему он может сходиться? Как правильно об этом рассуждать? Я, например, вижу только, что с ростом n длина отрезков $\left [ \frac{1}{(n+1)^2}; \frac{1}{n^2} \right ] } $ и $\left [ 0; \frac{1}{(n+1)^2}; \right [ $ сремится к нулю, а $\left ] \frac{1}{n^2}; 1 \right ] $ стремится к [0, 1]. Следует ли из этого, что пределом заданной последовательности будет функция $ f(x)=\sin{x} $ на [0, 1]? Или как еще "видеть" предельную функцию?
Потом, чтобы доказать, что она не сходится равномерно, нужно найти хотя бы одно значение х, для которого $ \sup|f_n(x)-f(x)|$ не стремитится к нулю, или как? И как формально доказать, что она сходится поточечно?
Извините, много вопросов, но голова вообще что-то не варит Помогите!