Виды сходимостей функциональных последовательностей

[Brukvalub]

NRM писал(а):

Следует ли из этого, что пределом заданной последовательности будет функция $ f(x)=\sin{x} $ на [0, 1]?

Вот и докажите, что эта функция будет поточечным пределом последовательности.

NRM писал(а):

Потом, чтобы доказать, что она не сходится равномерно, нужно найти хотя бы одно значение х, для которого $ \sup|f_n(x)-f(x)|$ не стремитится к нулю, или как?

Напишите и проверьте правильное отрицание равномерной сходимости. Пока Вы сформулировали это отрицание не совсем корректно.

[NRM]

Brukvalub,
будьте добры, проревьюйте...
Замечания по поводу махрового слэнга можно не делать

[Brukvalub]

Прочел, почти все выглядит достойно. Несколько вульгарно доказано отсутствие равномерной сходимости - лучше бы напрямую проверить отрицание определения. Но в целом - понравилось!

[DuNi4ka]

Подскажите, как доказать, что $ \frac{1}{f_n(x)} \to \frac{1}{f(x)} $ по мере на А, если $ f_n(x) \to f(x) $ по мере на А, и $ f_n(x), f(x) $ не обращаются в ноль нигде на А, и мера конечна.
По определению в лоб у меня что-то не получается...

[DuNi4ka]

Подкиньте хоть идейку, плз... Последнее задание в работе осталось...

[Gordmit]

Есть идея, состоящая в том, что нужно доказать существование такой абсолютной постоянной $M$, что $f(x)\geqslant \frac{1}{M}$ почти всюду на А (и, соответственно, про $f_n$). В этом и состоит проблема. Если это показать, то как из него вывести утверждение ясно. Но, к сожалению, не совсем ясно, как это показать.

Здесь, очевидно, нужно использовать конечность меры, т.к. иначе это неверно. Если например $f(x)$ непрерывна на А, то данное утверждение очевидно, а в случае произвольной $f(x)$ - непонятно, как это доказывать

[AD]

Нет, ну что вы, Gordmit, ясно, что такого может не быть. Возьмем хотя бы $f_n(x)=f(x)=x$ на $A=(0,1)$.

Добавлено спустя 7 минут:

В книжке Ульянова и Дьяченко это доказывается. На полстранички, но рассуждение не очень приятное.

[Gordmit]

Согласен, мысль была глупая

[Михаиль]

а где можно скачать эту книжку - в библиотеке Ульянова и Дьяченко нет,
остался только Вулех