Диф. ур. Замена при обобщенной однородности

[Co1l]

$4\cdot x^2\cdot y^3\cdot y''=x^2-y^4$
Мы проверяем на обобщенную однородность. Думаю, расписывать как это делается не стоит.
В итоге - уравнение обобщенно однородное, мы делаем замену $x=e^t, y=z\cdot e^{mt}$
Какова цель этой замены?

В этом примере:

(Оффтоп)

Точно такой же вопрос, цель этой замены? Скорее всего для понижения порядка, но как она работает и почему именно такая замена?
Заранее спасибо.

upd. С первой заменой разобрался, она нужна для того, чтобы понизить порядок, т.к. уравнение не будет содержать явно $t$, так?
Вторая замена все еще не понятна.

[ИСН]

Вторая замена, скорее всего, нужна для того же, что и первая: если её сделать, что-то с чем-то сократится и станет проще. Вот так и работает. Почему такая? - потому что люди сидели и пробовали, и нашли такие способы. Общая теория за этим есть, но она была построена потом.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Наберите все формулы. Картинку убирайте.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.