Арифметическая задача

[4ernovanton]

Помогите решит задачу

Начну с примера.

Простое скользящее среднее:

p - цена

n - период SMA

t - время

$$SMA(t,n)=\frac{p(t-(n-1))+ p(t-(n-2))+ ... + p(t-1)+p(t)}{n}$$

частный случай:

n1=5

t=5

$$SMA(5,5)=\frac{p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)}{5}$$

t=6

$$SMA(6,5)=\frac{p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)}{5}$$

t=7

$$SMA(7,5)=\frac{p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)}{5}$$

далее начиная с t=8 период SMA увеличивается на 1:

n2=n1+1=5+1=6 - новый период SMA

$$SMA(8,6)=\frac{p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)+p(8)}{6}$$

теперь необходимо выразить SMA(8,6) с периодом n2=6 через SMA(7,5) с периодом n1=5:

$$SMA(8,6)=\frac{p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)+p(8)}{6}=$$

$$=\frac{5 \ast \frac{p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)}{5}+p(8)}{6}=$$

$$=\frac{5 \ast SMA(7,5)+p(8)}{6}$$

В чем смысл такого преобразования - экономия времени вычисления следующего значения SMA.

---------------------------------------------------------------------------------------

Теперь собственно задача.

Экспоненциально взвешенное скользящее среднее:

p - цена

n - период EMA

t - время

EMA(0,n)=0

$$EMA(t,n)=\frac{(n-1) \ast EMA(t-1,n)+2 \ast p(t)}{n+1}$$

частный случай:
n1=5

t=1

$$EMA(1,5)=\frac{(5-1) \ast EMA(1-1,5)+2 \ast p(1)}{5+1}=$$

$$=\frac{(5-1) \ast EMA(0,5)+2 \ast p(1)}{5+1}=$$

$$=\frac{(5-1) \ast 0+2 \ast p(1)}{5+1}=$$

$$=2 \ast \frac{p(1)}{(5+1)^{1}}$$

t=2

$$EMA(2,5)=\frac{(5-1) \ast EMA(2-1,5)+2 \ast p(2)}{5+1}=$$

$$=\frac{(5-1) \ast EMA(1,5)+2 \ast p(2)}{5+1}=$$

$$=\frac{(5-1) \ast \frac{2 \ast p(1)}{(5+1)^{1}}+2 \ast p(2)}{5+1}=$$

$$=2 \ast \frac{(5-1)^{1} \ast p(1) + (5+1)^{1} \ast p(2)}{(5+1)^{2}}$$

t=3

$$EMA(3,5)=\frac{(5-1) \ast EMA(3-1,5)+2 \ast p(3)}{5+1}=$$

$$=\frac{(5-1) \ast EMA(2,5)+2 \ast p(3)}{5+1}=$$

$$=\frac{(5-1) \ast 2 \ast \frac{(5-1)^{1} \ast p(1) + (5+1)^{1} \ast p(2)}{(5+1)^{2}}+2 \ast p(3)}{5+1}=$$

$$=2 \ast \frac{(5-1)^{2} \ast p(1) + (5-1)^{1} \ast (5+1)^{1} \ast p(2) + (5+1)^{2} \ast p(3)}{(5+1)^{3}}$$

t=4

$$EMA(4,5)=\frac{(5-1) \ast EMA(4-1,5)+2 \ast p(4)}{5+1}=$$

$$=\frac{(5-1) \ast EMA(3,5)+2 \ast p(4)}{5+1}=$$

$$=\frac{(5-1) \ast 2 \ast \frac{(5-1)^{2} \ast p(1) + (5-1)^{1} \ast (5+1)^{1} \ast p(2) + (5+1)^{2} \ast p(3)}{(5+1)^{3}}+2 \ast p(4)}{5+1}=$$

$$=2 \ast \frac{(5-1)^{3} \ast p(1) + (5-1)^{2} \ast (5+1)^{1} \ast p(2) + (5-1)^{1} \ast (5+1)^{2} \ast p(3) + (5+1)^{3} \ast p(4)}{(5+1)^{4}}$$

далее начиная с t=5 период EMA увеличивается на 1:

n2=n1+1=5+1=6 - новый период EMA

$$EMA(5,6)=2 \ast \frac{(6-1)^{4} \ast p(1) + (6-1)^{3} \ast (6+1)^{1} \ast p(2) + (6-1)^{2} \ast (6+1)^{2} \ast p(3) + (6-1)^{1} \ast (6+1)^{3} \ast p(4) + (6+1)^{4} \ast p(5)}{(6+1)^{5}}$$

Как можно аналогично выразить EMA(5,6) с периом n2=6 через EMA(4,5) с периом n1=5 ?
Хотя бы идеи какие-нибудь.... что можно с этим сделать?
Заранее всем спасибо!

[svv]

$\bullet$ Пожалуйста, пишите короче. Для каждого вида среднего достаточно одной явной и одной рекуррентной формулы в общем виде.
$\bullet$ Мне кажется, у Вас неправильные формулы для EMA. Всевозможные «средние» должны для постоянной цены $p(1)=p(2)=...=p$ давать эту самую $p$, а для этого сумма всех коэффициентов должна быть $1$, но у Вас это не так, например:
$2\;\dfrac{4^{3}+ 4^{2}6^{1}+4^{1}6^{2}+6^{3}}{6^{4}}\approx 0,8$
$\bullet$ Изменение периода происходит не на каждом шаге, один раз можно пересчитать и явно. С моей точки зрения, оптимизация здесь не оправданна, тем более, что на стыке двух разных периодов рекуррентная формула усложнится.
$\bullet$ Не пишите звёздочку в качестве знака умножения: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. В крайнем случае пишите символ \cdot, например, $36=2\cdot 3\cdot 6$.

[Lia]

4ernovanton
Замечание за дублирование темы из Карантина.

Эта отправляется туда же, нужно оформлять все формулы.
Исправляйте любую из двух. И лучше покороче, да.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.