Предел функции двух переменных.

[integral2009]

Установить существование следующих пределов.

1) $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\displaystyle\lim_{r\to 0}\dfrac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r^2}=\sin\varphi\cos\varphi$

Так как значение предела зависит от угла, то предел не существует (потому как, если он есть, то он единственный)

2)

$$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{y^2-x}{x^2+y^4}=\displaystyle\lim_{r\to 0} \dfrac{r(r\sin^2\varphi-\cos\varphi)}{r^2(\cos\varphi+r^2\sin^2\varphi)}= \displaystyle\lim_{r\to 0} \dfrac{-\cos\varphi)}{r\cos\varphi}=+\infty$$

Если предел равен бесконечности, то он считается, что существует или нет?

Вычисления верны или нет?

Где можно почитать про вычисления пределов функции двух переменных?

[svv]

2) Что получится, если приближаться к $(0,0)$ по параболе $y^2-x=0$ ?

[Brukvalub]

1) - верно, 2) - нет. Нет развитой техники "вычисления пределов функций нескольких переменных", обычно все ограничивается разбором нескольких примеров для осмысления разницы одномерной и многомерной баз.

[integral2009]

svv в сообщении #1011205 писал(а):

2) Что получится, если приближаться к $(0,0)$ по параболе $y^2-x=0$ ?

Не очень понятен вопрос)) $r$ будет уменьшаться, а с углом какая-то странная шутка будет происходить)

[integral2009]

svv в сообщении #1011205 писал(а):

2) Что получится, если приближаться к $(0,0)$ по параболе $y^2-x=0$ ?

Не очень понятен вопрос)) $r$ будет уменьшаться, а с углом какая-то странная шутка будет происходить)

[Brukvalub]

integral2009 в сообщении #1011208 писал(а):

svv в сообщении #1011205 писал(а):

2) Что получится, если приближаться к $(0,0)$ по параболе $y^2-x=0$ ?

Не очень понятен вопрос)) $r$ будет уменьшаться, а с углом какая-то странная шутка будет происходить)

Так вы от полярных координат оторвитесь и станьте роднее дедушке Декарту.

[ИСН]

Вообще это плохой пример. Хороший - скажем, такой: $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$. По любому направлению предел - ноль. Но предел не ноль!

[Hymilev]

ИСН в сообщении #1011222 писал(а):

Вообще это плохой пример. Хороший - скажем, такой: $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$. По любому направлению предел - ноль. Но предел не ноль!

Что вы понимаете под направлением? Прямую линию? "По направлению параболы" звучит вроде неплохо.

[ИСН]

При чём тут я. Вопрос - что понимают под этим люди, только что узнавшие концепцию многомерного предела. Понять, что может быть ситуация "по направлению параболы", обычно требует некоторого умственного усилия.

[Hasek]

Hymilev в сообщении #1011439 писал(а):

ИСН в сообщении #1011222 писал(а):

Вообще это плохой пример. Хороший - скажем, такой: $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$. По любому направлению предел - ноль. Но предел не ноль!

Что вы понимаете под направлением? Прямую линию? "По направлению параболы" звучит вроде неплохо.

Здесь можно обратить внимание, что в точках вида $(z, z^2)$ эта функция всегда равна в точности $\frac{1}{2}$, при стремлении же к нулю иным образом предел нулевой.

[bot]

Hasek в сообщении #1011528 писал(а):

в точках вида $(z, z^2)$ эта функция всегда равна в точности $\frac{1}{2}$, при стремлении же к нулю иным образом предел нулевой

Будет ли иным стремление вдоль иной параболы?

[Hasek]

bot в сообщении #1011561 писал(а):

Hasek в сообщении #1011528 писал(а):

в точках вида $(z, z^2)$ эта функция всегда равна в точности $\frac{1}{2}$, при стремлении же к нулю иным образом предел нулевой

Будет ли иным стремление вдоль иной параболы?

По другим параболам стремится к нулю так же.

[svv]

Если для точек, не лежащих на оси ординат, ввести $p=\frac y {x^2}$, то
$\dfrac{x^2 y}{x^4+y^2}=\dfrac{p}{1+p^2}$
Теперь устремим $x$ и $y$ к нулю так, чтобы $p$ оставалось постоянным.

[Hasek]

svv в сообщении #1011618 писал(а):

Если для точек, не лежащих на оси ординат, ввести $p=\frac y {x^2}$, то
$\dfrac{x^2 y}{x^4+y^2}=\dfrac{p}{1+p^2}$
Теперь устремим $x$ и $y$ к нулю так, чтобы $p$ оставалось постоянным.

Понял свою ошибку. Спасибо.

[integral2009]

ИСН в сообщении #1011222 писал(а):

Вообще это плохой пример. Хороший - скажем, такой: $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$. По любому направлению предел - ноль. Но предел не ноль!

Вот здесь по направлению $y=x^2$ будет $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^4}{x^4+x^4}=0,5$

То есть выбирается обычно удобное направление или как, почему именно по параболе?