Замыкание многогранника - многогранник

[Pretty Kitty]

Определим n-мерный многогранник как элемент булевой алгебры порожденной симплексами. Подскажите как доказать, что замыканием любого многогранника будет опять многогранник. Я пытался воспользоваться тем, что булева алгебра получается конечным применением операций к симплексам, но не знаю как можно выразить замыкание пересечения и разности.

[patzer2097]

Достаточно показать, что множество внутренних точек симплекса является многогранником в Вашем смысле и воспользоваться индукцией по длине формулы, задающей исходный многогранник.

[Pretty Kitty]

patzer2097 в сообщении #1010136 писал(а):

Достаточно показать, что множество внутренних точек симплекса является многогранником в Вашем смысле и воспользоваться индукцией по длине формулы, задающей исходный многогранник.

Легко показать, что внутренность симплекса - многогранник, достаточно повычитать из него симплексы с общими гранями. Только не понимаю, как это должно помочь. Если пытаться по длине формулы показать, что сразу и внутренность и замыкание - это многогранники, то опять же возникают проблемы при переходе, внутренность объединения сводится к замыканию разности, а замыкание разности к внутренности объединения

[patzer2097]

Pretty Kitty в сообщении #1010243 писал(а):

Если пытаться по длине формулы показать, что сразу и внутренность и замыкание - это многогранники

именно так

Pretty Kitty в сообщении #1010243 писал(а):

то опять же возникают проблемы при переходе

Почему? Вот у Вас многогранники $A$ и $B$, про которые Вы знаете, что их замыкания и внутренности - тоже многогранники. Вам надо показать то же самое для $A\cap B$, $A\cup B$ и $A\setminus B$, но это же просто.

[Pretty Kitty]

patzer2097 в сообщении #1010341 писал(а):

Pretty Kitty в сообщении #1010243 писал(а):

то опять же возникают проблемы при переходе

Почему? Вот у Вас многогранники $A$ и $B$, про которые Вы знаете, что их замыкания и внутренности - тоже многогранники. Вам надо показать то же самое для $A\cap B$, $A\cup B$ и $A\setminus B$, но это же просто.

Ну собственно вся моя проблема в том, что я не знаю как выразить некоторые из этих множеств. Знаю про замыкание объединения, внутренность пересечения и разности, но, например, не представляю как выразить внутренность объединения через данные множества.

[Pretty Kitty]

Сколько я не думал над этой задачей, мне все кажется, что так не получится, потому что во внутренности объеденения появляются новые точки, которых не было во внутренностях объединяемых, и то попадет ли точка туда, не выражается однозначно в терминах их внутренностей и замыканий. Может мне кто-нибудь подскажет, раз это так просто

[patzer2097]

Pretty Kitty в сообщении #1011092 писал(а):

и то попадет ли точка туда, не выражается однозначно в терминах их внутренностей и замыканий

это так

Pretty Kitty в сообщении #1011092 писал(а):

Может мне кто-нибудь подскажет, раз это так просто

OK, пусть $A$ у нас будет просто симплексом. Как мы тогда доказываем, что внутренность $A\cup B$ - это многогранник?

[Pretty Kitty]

patzer2097 в сообщении #1011171 писал(а):

Pretty Kitty в сообщении #1011092 писал(а):

и то попадет ли точка туда, не выражается однозначно в терминах их внутренностей и замыканий

это так

Pretty Kitty в сообщении #1011092 писал(а):

Может мне кто-нибудь подскажет, раз это так просто

OK, пусть $A$ у нас будет просто симплексом. Как мы тогда доказываем, что внутренность $A\cup B$ - это многогранник?

Что-то это не кажется проще обычного варианта

[patzer2097]

OK, а что, если и $A$, и $B$ - симплексы? :)

[Pretty Kitty]

patzer2097 в сообщении #1011236 писал(а):

OK, а что, если и $A$, и $B$ - симплексы? :)

Новые точки внутренности должны лежать на границе каждого симплекса, а значит, на пересечении границ. Далее эти точки должны лежать внутри грани, размерность которой на единицу меньше. То есть если мы возьмем внутренность каждой грани размерности $n-1$ одного симплекса и попарно их пересечем с внутренностями таких же граней другого симплекса, то любая новая точка внутренности будет лежать в одном из таких пересечений. Рассматривая внутренность одного из таких пересечений (можно считать, что мы ведем индукцию по размерности, и это многогранник) можно увидеть, что это и будут новые точки внутренности, если симплексы лежат в разных полупространствах относительно плоскости содержащей грань.

[patzer2097]

Pretty Kitty в сообщении #1011255 писал(а):

можно увидеть, что это и будут новые точки внутренности, если симплексы лежат в разных полупространствах относительно плоскости содержащей грань.

ага, а в общем случае такой метод не будет работать? Ну, пусть теперь $A$ - это полупространство, а $B$ - произволен..

[Pretty Kitty]

patzer2097 в сообщении #1011467 писал(а):

Pretty Kitty в сообщении #1011255 писал(а):

можно увидеть, что это и будут новые точки внутренности, если симплексы лежат в разных полупространствах относительно плоскости содержащей грань.

ага, а в общем случае такой метод не будет работать? Ну, пусть теперь $A$ - это полупространство, а $B$ - произволен..

В общем случае я не знаю, как устроена грань многогранника, а в случае симпликсов я явно пользовался ее структурой. Мне нужно доказать, что замыкание многогранника - многогранник, чтобы из этого уже вывести, что грань многогранника - вырожденный многогранник

[patzer2097]

А почему нельзя просто добавить внутренность пересечения $B$ с плоскостью, отделяющей $A$ от не-$A$? (Имею в виду внутренность как подмножества этой плоскости, конечно.)

[Pretty Kitty]

patzer2097 в сообщении #1011477 писал(а):

А почему нельзя просто добавить внутренность пересечения $B$ с плоскостью, отделяющей $A$ от не-$A$? (Имею в виду внутренность как подмножества этой плоскости, конечно.)

А если, например, B - это кусок этой самой плоскости?

[patzer2097]

Да, прошу прощения, так просто не получается...